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温州大学（筹）06 年《数学分析》研究生入学考试卷
1（15 分）设 Axf
ax
)(lim ， Bxg
Ax
)(lim 而且在某 )(
0
aU 内 Axf )( .
（1）求证： Bxfg
ax
))((lim ；
（2）举例说明去掉条件“在某 )(
0
aU 内 Axf )( ”结论（1）不成立.
2（20 分）（1）求证： 0x 时
xx
xf
1
sin
1
)( 是无界量但不是无穷大量.
（2）设 )(xf 在 ],[ ba 上连续， *
x 是 )(xf 在 ],[ ba 上唯一的最大值点.如果
],[}{ baxn
使得 )()(lim *
xfxf n
n
，求证： *
lim xxn
n
.
3（18 分）设
0,0
0,
1
sin
)(
x
x
x
x
xf
m
.试确定整数m 的取值范围，使得
（1） )(xf 在 0x 处连续；
（2） )(xf 在 0x 处可导；
（3） )(xf 在 0x 处连续.
4（20 分）（1）设 )(xf 在 ],[ ba 上连续， )(xf 在 ),( ba 中存在而且 0)()( bfaf .
求证：存在 ),( ba 使得 )()( ff .
（2）试求方程 xx sin2 在闭区间 ]2,0[ 上的解.
5（12 分）设 )(xf 在 ]1,0[ 上可微， 0)0( f 而且当 )1,0(x 时， 1)(0 xf .求证：
1
0
3
21
0
)())(( dxxfdxxf .
6（15 分）（1）设 0n
a )1( n .求证： n
n
a
1
与
n
n
n a
a
11
具有相同的敛散性.
（2）讨论级数
3
cos)1(
2
1
n
n
n n
a
n
（其中a 为常数）的敛散性.
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