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04 年 A 卷：
1、（12 分）设
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x A g x B
、 ，并且 A B 。
求证：存在 0 ，使当 0
0 x x 时 成立 ( ) ( )f x g x 。
2、（16 分）设数列{ }n
a 满足条件：对任何正整数 n 成立 1
1
2
n n n
a a
。
（1）求证：当 n > m 时 1 2
1 1 1
2 2 2
n m n n m
a a
；
（2）应用柯西收敛准则证明{ }n
a 收敛。
3、（16 分）计算下列极限：
（1）
2 2
20
lim
ln(1 )
x x
x
a b
x
( 0 )a b ，
（2）
1
1 2 3 10
lim
10
n n n n
n
4、（12 分） （1）求证：
2 2
0 0
sin cos
sin cos sin cos
x x
dx dx
x x x x
；
（2）求积分
2
0
sin
sin cos
x
dx
x x
的值 。
5、（15 分）设空间闭区域V 由曲面 2 2 2 2
, 2( )z x y z x y 及圆柱面 2 2
( 1) 1x y
所围成，试求V 的体积。
6、（10 分）设 ( )f x 在闭区间 [ ]a b， 连续， 0 1 ，求证：存在 [ ]a b， ，使得
( ) ( ) (1 ) ( )f f a f b 。
7、（15 分）设 2
( ) (0 , 2)
(1 )
n n
x
f x x n
x
，
（1） 求：
0
max ( )n n
x
a f x
；
（2） 求极限： lim ( 2 )n
n
n a
。
8、（16 分）设
1
0 ,n n
n
a a
收敛， n k
k n
r a
，求证下列结论：
（1）{ }n
r 单调减少并趋于 0；
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