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2007 年研究生入学考试试题
考试科目： 高等代数（A） 报考学科、专业：应用数学
请注意:全部答案必须写在答题纸上，否则不给分。
1 （10 分）已知 (1) 1, (2) 2,f f 求多项式 ( )f x 除以( 1)( 2)x x 的余式。
2 （10 分）证明：如果( ( ), ( )) 1,f x g x 那么( ( ) ( ), ( ) ( )) 1.f x g x f x g x
3 （15 分）证明：
1 2 3 4
4 1 2 3 42 2 2 2
1 41 2 3 4
4 4 4 4
1 2 3 4
1 1 1 1
( ).j i
i j
x x x x
D x x x x x x
x x x x
x x x x
4 （10 分） 设 A 是 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数。记分块矩阵
, ,
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E O A
P Q
A A b
A
是 A 的伴随矩阵。（1）计算 PQ 并简化；（2）证明 Q 可逆的充要条件是 1
.A b
5 （30 分） 设 A，B 是 n 阶方阵，齐次线性方程组 AX=0 和 BX=0 分别有 k, m 个线
性无关的解向量。（1）证明(AB)X=0 至少有 max(k. m)个线性无关的解向量；（2）若 k+m>n.
证明(A+B)X=0 必有非零解；（3）如果 AX=0 和 BX=0 无公共的非零解向量，且 k+m=n.
证明 n
F 中任一向量可唯一表成 , , 分别是 AX=0 和 BX=0 的解向量。
6 （15 分）设 1 2
, ,..., n
为一线性无关的向量组， 为向量。证明：要么向量组
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