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2012 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副题）
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学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、
运筹学与控制论专业
研究方向：各方向
考试科目名称：高等代数 考试科目代码：810
考试科目: 高等代数 共 4 页,第 1 页 考试科目: 高等代数 共 4 页,第 2 页
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分
一、判断下列命题的正误（只需回答“正确”或“错误”并将你的答案写在答题纸上，
不需说明理由，每题 2 分，共 20 分）：
1、如果 )( xf 是一元整系数多项式，而且互质的整数 qp, 使 )7( qp 整除 )7(f ,则
p
q
是
)( xf 的根。
2、 )13524678( 是奇排列。
3、如果 n 元实系数齐次线性方程组的解空间为全体 n 维实列向量组成的线性空间
n
R
的真子空间，则该齐次线性方程组的系数不全为零。
4、正交变换保持向量的长度不变。
5、如果一个 n 阶对称矩阵 A 的伴随矩阵 *A 正定，则 A 正定。
6、如果
n
R 为全体 n 维实列向量按通常向量加法和数乘运算组成的线性空间，而且n 阶
实矩阵 A 满足： AA 2012
2
，令 }0|{ AxRxW
n
， }2012|{ xAxRxT
n
，
则 SRR
n
。
7、如果实数域 R 上的线性空间V 与其任意真子空间U 均不同构，则线性空间V 一定
是有限维空间。
8 、 如 果 T 为 n 维 线 性 空 间 V 的 一 个 线 性 变 换 ， U 为 V 的 子 空 间 ， 则
))(dim()dim()dim())(dim( UTVUVT 。
9、如果 A 为 n 阶可逆矩阵， 为多项式 ')( AxAxf 的非零根，则
1
不是多项式
')( AxAxf 的根。
10、如果 , 是 n 维欧氏空间V 的两个向量， }0,,|{ VW 且
2)dim( nW ，则 , 线性无关。
二、 在每个题后给出的 3 个答案中选择一个正确的答案填空，将其前的字母填写在答
题纸上：（每小题 3 分，共 30 分）
1、多项式 1
2
mxx 整除 1
24
xx 的条件是：（ ）。
a. 1m ; b. 2m ; c. 3m 。
2、如果一个 n 阶行列式中每行每列恰有一个元素为 1 而其余元素均为 0，则该行列式的
值为（ ）。
a. 2 ；b. 1 或 1 ; c. n 。
3、齐次线性方程组
02012201220122012
02011201120112011
0
02242
0
2012
2012
2011
2011
2
2
1
2012
2012
2011
2011
2
2
1
2012
2012
2011
2011
2
2
1
2012
2012
2011
2011
21
2012201121
xxxx
xxxx
xkxkxkkx
xxxx
xxxx
（ ）。
a. 无解；b. 有无穷组解；c. 仅有零解。
4、设 m
AAA ,,, 21
均是n 阶下三角矩阵，则它们的乘积 m
AAA 21 （ ）。
a. 仍为下三角矩阵；b. 为上三角矩阵; c. 为对角矩阵。
5、如果 nm 阶矩阵为行满秩矩阵，则 'AA （ ）。
a. 对称正定；b. 对称负定; c. 对称半正定。
6、（ ）是实数域 R 上次数不超过 3 的一元多项式作成的线性空间的一组基。
a. 3223
,,,1 xxxxxx ；b. )2)(1(),1(,,1 xxxxxx ; c. xex
x
,,sin,1 。
7、设 )(VL 是实数域上线性空间 V 的线性变换全体按通常运算形成的线性空间，且
2)dim( V , x 是V 中给定的一个非零向量，则 }0)(|)({
2
xVLW （ ）。
a. 不是V 的子空间; b. 是V 的真子空间;c. 是V 的平凡子空间。
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