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河南大学 2003 年硕士研究生招生入学考试数学分析
一、完成以下各题(每小题 8 分,共 48 分)
1、
( )
( )
2
3
ln 1
lim
ln 1
x
xx
e
e→∞
+
+
;
2、设
( )2
ln 1
arctan
x t
y t t
⎧ = +⎪
⎨
= −⎪⎩
,求
2
2
,
dy d y
dx dx
;
3、计算广义积分 2
2 2
sin
,0
2sin sin
x
dx
x
π
α
π
α
α
< <
−
∫ ;
4、将 ( )
1
1
x
f x
x
−
=
+
展成 x 的幂级数,并确定收敛区间;
5、计算 ( )
»
( )2y y
AB
e x dx xe y dy+ + −∫ ,其中 »AB 是经过 ( ) ( ) ( )0,0 , 0,1 , 1,2A C B 的任一
光滑圆弧;
6、求函数 ( ) 2
4 3
1
x
f x
x
+
=
+
的极大值和极小值.
二、(12 分)求由方程 ( )2 2 ln 0xz xyz xyz− + = 所确定的函数 ( ),z f x y= 的全微分.
三、(12 分)展开函数
( )
1, 0
2
0,
2
x
f x
x
π
π
π
⎧
≤ ≤⎪⎪
= ⎨
⎪ ≤ ≤
⎪⎩
为余弦级数.
四、(12 分)求曲线
2
2y x= 与 4y x= − 所围区域的面积.
五、(12 分)计算二重积分 ( )
D
x y dxdy+∫∫ ,其中 D 是圆
2 2
x y x y+ ≤ + 外部.
六 、 (12 分 ) 证 明 微 积 分 学 基 本 定 理 : 若 函 数 ( )f x 在 [ ],a b 上 连 续 , 则
( ) ( ) [ ], ,
x
a
x f t dt t a bΦ = ∈∫
在[ ],a b 上可导,且有 ( ) ( )x f x′Φ = .
七、(12 分)证明曲线 1xy = 上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为一常
数.
八、(10 分)若 ( )f x′ 在[ ],a b 上连续，对任意正整数 n ，令
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