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2013 年河南大学硕士研究生入学考试高等代数
1. 记 P【x】为数域 P 上所有多项式构成的集合，给定复数∂ 求
证：P【x】中子集合 M={f(x) 】【xP∈ f(α )=0}中存在唯一的首
项系数为 1 的非零不可约多项式 d(x)且 d(x) f(x)当且仅当
f(x)∈M。
2. 设 A，B 为数域 P 上的 n 阶方阵，试证：2n 阶方阵 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ＡＢ
ＢA
=M,
有行列式：det(M)=det(A+B)det(A-B)
3. 给定数域 P 上的 n×r 矩阵 A,B。设 A,B 的列向量组分别为同
一个齐次线性方程组的基础解系，试证：存在数域 P 上的 r
阶可逆方阵 Q 使得 B=AQ。
4. 设Ａ，Ｂ为ｎ阶是对称方阵，且Ａ正定，试证：二次型
Axx'
x =）（ϕ 和 Bxxx '
)( =φ 可同时化为标准型。
5. 设 0V 为ｎ维实线性空间Ｖ中的真子空间，ｆ )( βα. 为Ｖ上的对
称双线性函数，记 0V 的正交补为 ⊥
0V ＝｛ V∉β ｝ｆ( ) 0=βα， ，
试证：ｆ限制在 0V 上的非退化，当且仅当Ｖ＝ 0V ⊕
⊥
0V
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