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河南大学 2003 年硕士研究生招生入学考试高等代数
一、(15)V 是数域 P 上 n 维线性空间,σ 是V 上的线性变换. ,k P∈
Vα ∈ 且( )
1
0
n
kIσ α
−
− ≠ ,而( ) 0
n
kIσ α− = .证明: ( ) ( )
1
, , ,
n
kI kIα σ α σ α
−
− −L 是V 的一组基,并求
σ 在这组基下的矩阵.( I 表示单位变换)
二、(15)设 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 510, 7, 4,8 , 5,3,2, 1 , 10,6,4, 2 , 8, 6, 3,8 ,α α α α α= − − − = − = − = − − − =
( )2,1,1,0 .求 1 2 3 4 5, , , ,α α α α α 的极大线性无关组,并用极大线性无关组表示其它向量.
三、(15)设 ( )P x 为不可约多项式, ( ) ( )( ) ( ),f x f x d x′ = ,则 ( )P x 是 ( )f x 的 ( )1k k > 重因式
( ) ( )1
,k
P x d x−
⇔ 而 ( ) ( )k
P x d x¬ .
四、(15)设 , ,A B C 是 n 阶方阵,证明:秩
0
A C
B
⎛ ⎞
≥⎜ ⎟
⎝ ⎠
秩( )A + 秩( )B .
五、(15)设 ( )1,2, ,i i mλ = L 是 n 维线性空间V 上的线性变换σ 的互不相同的特征值, i
Vλ 是相应的特
征子空间.证明: i i i
V V Vλ λ λ+ + +L 是直和.
六、三阶实对称矩阵 A 的特征值是1, 1, 1− − .属于 1λ = 的特征向量为 ( )1 1,2,2η ′= ,求矩阵 A .
七、(15) ( )f x 复系数多项式, A 是 n 阶复矩阵.证明: ( )f A 可逆的充分必要条件是 ( )f x 的根都不是
A 的特征值.
八、(15) A 是 n 阶实矩阵.证明: AA′ 与 A A′ 相似.
(以下非代数题目,略去)
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