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河南大学 2002 年硕士研究生招生入学考试高等代数
一、(10)设分块矩阵
0
,
T
E p
A B
P P c
α
α α
∗
⎛ ⎞⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.其中 p 为 n 阶可逆矩阵,α 为 n 维行向量, c
为常数, p∗
是 p 的伴随矩阵, E 为 n 阶单位阵.
(1)计算 AB ;
(2)证明: B 可逆的充分必要条件是
1 T
p cα α−
= .
二、(10)已知 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 31,4,0,2 , 2,7,1,3 , 0,1, 1, , 3,10, ,4a bα α α β= = = − = .问(1) ,a b 取何值
时, β 不可能由 1 2 3, ,α α α 线性表示?(2) ,a b 取何值时, β 可由 1 2 3, ,α α α 线性表示?并写出此表达式.
三、(10)设矩阵
1
5 3
1 0
x z
A y
z x
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
，且 1,A A= − 的伴随矩阵 A∗
有特征值 0λ ，属于 0λ 的特征向
量为 ( )1, 1,1
T
α = − − ，求 , ,x y z 及 0λ 的值.
四、(10)设 A 为 m 阶方阵, B 为 n m× 矩阵,且 B 的秩为 ,m B BA= .证明: A E= .
五、(15)设 A 为三阶实对称矩阵, A 的特征值是1,2,3 .属于 A 的特征值1,2 的特征向量分别是
( ) ( )1 21, 1,1 , 1, 2, 1
T T
α α= − − = − − .求
(1)求 A 的属于特征值3的特征向量;
(2)求矩阵 A 及正交阵Q 使
T
Q AQ 是对角阵.
六、(15)设 A 为一个 n 级实对称矩阵, 0A = 而 A 的前 1n − 个顺序主子式都大于零,证明:二次型
T
X AX 是半正定的,其中 ( )1 2, , ,T
nX x x x= L .
七、(15)设 1 2, , sV V VL 是线性空间V 的 s 个非平凡的子空间.证明: V 中至少有一个向量不属于
1 2, , sV V VL 中的任一个.
八、(15)设σ 是 n 维线性空间V 上的线性变换,且
2
σ σ= ,证明:
(1) V 是σ 的值域 Vσ 与σ 的核 ( )1
0σ −
的直和;
(2)σ 的特征多项式 ( ) ( )1
sn s
f λ λ λ−
= − , s 是 Vσ 的维数.
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