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《高等代数》试题 第 1 页 共 2 页
一、（15 分）设 ( ), ( )f x g x 不全为零，求证:
( ( ), ( )) ( ( ), ( ))n n n
f x g x f x g x= (n 为正整数).
二、（10 分）计算行列式
1 2
1 2
1 2
1 2 3
n
n
n
x a a a
a x a a
a a x a
a a a x
L
L
L
M M M L M
L
.
三、（15 分）设向量组 1 2 3, ,α α α 线性相关，向量组 2 3 4, ,α α α 线性无关，问：
(1) 1α 能否由 2 3,α α 线性表出？证明你的结论.
(2) 4α 能否由 1 2 3, ,α α α 线性表出？证明你的结论.
四、（10 分） 求a 与b ，使齐次线性方程组
0
2 0
3 0
ax y z
x by z
x by z
+ + =
+ + =
+ + =
有非零解，并求相应的基础解系.
五、（10 分）设 ,A B 为 n 阶矩阵， , ,A B A B+ 均可逆，证明 1 1
A B− −
+ 也可
逆，并求其逆.
六、（15 分）证明：对 n 维线性空间V 中的任二子空间 1 2,V V ，它们的并
1 2V V∪ 是V 的子空间的充要条件是 1 2V V⊆ 或者 2 1V V⊆ .
七、（15 分）设 P 是数域， ( )
, ,m n n m n
m n A P B P× − ×
< ∈ ∈ ， 1V 和 2V 分别是齐
次线性方程组 0AX = 和 0BX = 的解空间，证明： 1 2
n
P V V= ⊕ 的充要
条件是 0
A
X
B
=
只有零解.
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