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华侨大学 2013 年硕士研究生入学考试专业课试卷
（答案必须写在答题纸上）
招生专业 基础数学
科目名称 高等代数 科目代码 823
一、（20 分）讨论 a 取什么值时，下述线性方程组有解？当有无穷多解时，求出其解.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
1
ax x x
x ax x
x x ax
.
二、（25 分）作正交变换，把下述二次曲面方程化成标准方程，并且指出它是什么曲面？
2 2 2
( , , ) 4 4 8 4 0f x y z x y z xy xz yz .
三、（20 分）设 3 2
( ) 7 2f x x x x ， 2
( ) 3 5 2g x x x ，求首项系数为 1 的最大公因
式( ( ), ( ))f x g x ，并且把它表示成 ( )f x 与 ( )g x 的一个组合.
四、（30 分）
（1）证明：数域 K 上幂等矩阵的秩等于它的迹.
（2）证明：设V 是数域 K 上的线性空间， 是V 上的一个幂等变换（即 2
），则
Ker ImV .
五、（15 分）证明：方阵 A 正定的充分必要条件是：存在一个正定矩阵C 使得
2
A C .
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