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华侨大学 2012 年硕士研究生入学考试专业课试卷
（答案必须写在答题纸上）
招生专业 基 础 数 学
科目名称 高等代数(A) 科目代码 825
一、（本题满分 15 分）
设多项式 4 3 2
( ) 2 4 2f x x x x x= + − − − ， 4 3 2
( ) 2 2g x x x x x= + − − − ．求 ( )f x 与 ( )g x 的
最大公因式( ( ), ( ))f x g x ．
二、（本题满分 15 分）
设行列式
3 5 2 1
1 1 0 5
2 3 1 3
2 4 1 3
D
−
=
−
− − −
， D 的第i 行第 j 列元素的余子式和代数余子式分别
记为 ijM 和 ijA ．求
(1) 11 12 145A A A+ + ；(2) 11 12 13 14M M M M+ + + ．
三、（本题满分 20 分）
设矩阵
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
，求正交矩阵 P 和对角矩阵 B ，使得 1
P AP B−
= ．
四、（本题满分 20 分）
证明：秩为 r 的矩阵总可以表成 r 个秩为1的矩阵之和．
五、（本题满分 20 分）
设 ,A B 都是 m n× 矩阵.证明：齐次线性方程组 0AX = 与 0BX = 同解的充分必要条件
是存在 m 阶可逆阵 P 使得 B PA= .
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