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4-1
数学分析 B(参考答案)
一. (共 24 分, 每小题 8 分) 求下列极限.
1. 1 1
( 2) 5
lim
( 2) 5
n n
n n
n
;
解. 原式
( 2 / 5) 1 1
lim
( 2)( 2 / 5) 5 5
n
n
n
2. lim (sin 1 sin )
x
x x
;
解. sin 1 sinx x
1 1
2 sin cos
2 2
x x x x
1 1
2 sin cos
22( 1 )
x x
x x
.
因
1
| cos | 1
2
x x
且
1
lim 2 sin 0
2( 1 )x
x x
, 因此,
lim (sin 1 sin ) 0
x
x x
.
3.
2
2
2
1
lim ( )
1
x
x
x
x
.
解. 原式
22
2
21
212
2
2
lim[(1 ) ] e
1
xx
x
x x
二. (15 分) 设函数 ( )f x 在区间 I 上连续, 证明: 若对任何有理数 r I 有
( ) 0f r , 则在 I 上 ( ) 0f x .
证明: (reductio ad absurdum) Assume IQ & 0)( Af . Take A
2
1
.
Because f is continuous, 0 , when || x , Afxf
2
1
|)()(| . So that, when
|| x , 0
2
1
2
1
)( AAAxf . By the density of rational numbers, )( Qrr , it
satisfies || r . So 0
2
1
)( Arf . It is a contradiction to 0)( rf . Hence, 0)( xf .
三. (10 分) 设 A , B 为非空有界数集, S A B . 证明：
inf min{inf , inf }S A B .
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