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中国科学院 2012 数学分析考研试题参考解答
引言
本文是中国科学院 2012 年硕士研究生入学考试《数学分析》试题的参考解答．试
题来自文献[1]．第二题由对称性计算定积分和二重积分．第五题证明连续函数的本性最大
模（范数）的积分定义式．第七题用介值定理和单调性处理代数方程求根问题．第八题计算
第一型曲面积分，附注中提供了另外的解题思路．
试题
1、（30 分，每小题 15 分）计算极限：
（1）
3 1 2
lim 2sin sin
n
n
n n
；
（2）
4
2
1
lim cos
x
x x
．
2、（30 分，每小题 15 分）计算积分：
（1） 2
30 1 tan
dx
I
x
；
（2） ， 2 2
1
S
J x yf x y dxdy
其中 为由曲线 所围成的区域，S 3
, 1,y x y x 1 f x 为实值连续函数．
3、（15 分）求下列幂级数的收敛域：
1
1 1
1
2
n
n
x
n
．
4、（15 分）证明：函数列 2 2
1
1
n
x
s x n
n x
在区间 , 上一致收敛；函数列
2 2
1
1
n
nx
t x n
n x
在区间 0,1 上不一致收敛．
5、（15 分）设在区间 ,a b 上， f x 连续， g x 可积，并且 0, 0f x g x ．证明
1
lim max
nb
n
an a x b
f x g x dx f x
．
6、（15 分）设在区间 0,a 上， f x 二次可导，且 1, 1f x f x ，则当 0,x a
时，
2
f x
a
2
a
．
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