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中国科学院研究生院
2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：高等代数
考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
1． (15 分) 证明 多项式
2
( ) 1
1! 2! !
n
x x x
f x
n
没有重根。
2． (20 分) 设多项式 1( ) ( ) ( )( 1)k
g x p x g x k ，多项式 ( )p x 与 1( )g x 互素。证明：
对任意多项式 ( )f x 有
1
1
1
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )k k
f xf x r x
g x p x p x g x
其中， 1( ), ( )r x f x 都是多项式， ( ) 0r x 或deg( ( )) deg( ( ))r x p x 。
3． (20 分) 已知 n 阶方阵
2
1 1 2 1
2
2 1 2 2
2
1 2
1 1
1 1
1 1
n
n
n n n
a a a a a
a a a a a
A
a a a a a
其中，
2
1 1
1,
n n
i i
i i
a a n
。
1) 求 A 的全部特征值；
2) 求 A 的行列式det( )A 和迹 tr( )A 。
4．(15 分) 设数域 k 上的 n 阶方阵 A 满足 2
A A ， 1 2,V V 分别是齐次线性方
程组 0Ax 和( ) 0nA I x 在 n
k 中的解空间，试证明： 1 2
n
V V k ，其中 nI 代表
n 阶单位矩阵， 表示直和。
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