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中国科学院研究生院
2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：概率论与数理统计
考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟.
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效.
1（每小题 10 分，共 20 分） 有一个均匀对称的骰子，每面被涂成白色或黑色，
抛掷后出现白色的概率为 p （ 10 p ）,现在抛掷这枚骰子，直到出现白色
为止.问：
（a） 上述骰子只需被抛掷最多 3 次的概率是多少？
（b） 以 X 记骰子需要被抛掷的次数， X 的期望是多少？（请给出详细计算步
骤）
2（每小题 10 分，共 20 分） 设平面上有无数条距离为 1 的等距平行线，随机
地向平面投掷一根长度为l )1( l 的针，记 X 为针的中心与最靠近它的平行线
之间的距离， 为针与最靠近它的平行线的夹角， X 服从 ]
2
1
,0[ 上的均匀分布，
服从 ],0[ 上的均匀分布.
（a） 试求针与线相交的概率；
（b） 设计一个投针实验用以估计圆周率 .
3 （共 15 分）有一个实验需要三个步骤才能完成，第一个步骤能按时完成的概
率为 0.7，已知第一个步骤完成的条件下，第二个步骤能按时完成的概率为 0.8，
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