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宁波大学 2016 年攻读硕士学位研究生
入 学 考 试 试 题(B 卷) (答案必须写在答题纸上)
考试科目: 高等代数 科目代码： 871
适用专业: 基础数学、应用数学
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一、(10 分) 设 1p 是素数, 用多项式理论证明 p 是无理数.
二、(10 分) 计算行列式
246 427 327
1014 543 443
342 721 621
的值.
三、(15 分) 设 1 2 3, , 线性元关, 证明: 1 2 2 3 3 1, , 也线性无关.
四、(15 分) 取何值时，线性方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 1
2
4 5 5 1
x x x
x x x
x x x
无解, 有唯一解, 或有无穷
多解? 在有无穷多解时, 求方程组的通解.
五、(10 分) 设 1 (2,1,2,2, 4), 2 (1,1, 1,0,2), 3 (0,1,2,1, 1), 4 ( 1, 1, 1,
1,1), 5 (1,2,1,1,1) , 试确定向量组 1 2 3 4 5, , , , 的秩和一个极大线性无关组. 并
用这个极大无关组表示其它(不在极大无关组的)向量.
六、(15 分) 求矩阵
2 1 0 0
3 2 0 0
5 7 1 8
1 3 1 6
A
的逆矩阵.
七、(10 分) 用非退化线性替换化二次型 2 2 2
1 1 2 2 2 3 32 2 4 4f x x x x x x x 为标准型(写
出线性替换).
八、(5 分) 证明: 如果 A 是正定矩阵，那么 1
A
也是正定矩阵.
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