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杭州师范学院研究生入学考试命题纸 杭州师范学院研究生入学考试命题纸
杭 州 师 范 学 院
2006 年攻读硕士学位研究生入学考试题
学科专业： 凝聚态物理
研究方向：
考试科目： 量 子 力 学
2，设 ( ) ( , )nlm nl lm
R r Y 为氢原子的能量为
2 2
/ 2n
E e an 定态波函数，当 t=0 时氢原
子处于状态
100 210 211
5 1 3
( , , ) ,
3 3 3
r
求氢原子此时能量、角动量平方和角动量 z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力
学量的平均值。 (20 分)
3，在某表象中，一量子力学体系的哈密顿算符对应的矩阵为：
a c
H
c b
，
其中 a、b 和 c 为已知常数，（1）求解 H 的本征值；（2）当 a=4, b=2,c=1 时，求各本征
值对应的归一化本征态。（16 分）
4，质量为 m 的粒子在二维无限深势井中运动， 0 ,x y ，井内有一微扰势能，
( , ) cos cosV x y x y
（1），写出 0 时，基态和第一激发态的能量的本征值和相应的本征函数。（10 分）
（2）， 很小时，求第一激发态能量（到一级近似）。（10 分）
5， 两个自旋为 1/2, 质量为 m 的无相互作用的全同费米子处在线性谐振子势场中，。求出
体系的基态和第一激发态的能量本征值和本征函数，指出简并度。（15 分）。[单粒子能级及
本征函数（空间部分）为：
2 21
2
1
( ) , ( )
2
, 0,1, 2 ]
x
n n n n
E n N e H x
m
n
6，在超弦尺度下空间为非对易空间，如 2 维非对易空间不仅坐标算符（ ˆ ˆ,X Y ）与动量
算符（ ˆ ˆ,x y
P P ）不对易，而且坐标--坐标之间以及动量--动量之间也不对易，已知 ˆ ˆ,X Y ，
ˆ ˆ,x y
P P 与对易空间量子力学中的坐标（x,y）和动量（ ,x y
p p ）之间的关系为：
ˆ ˆ,
2 2
y x
X x p Y y p
ˆ ˆy ,
2 2
x x y y
P p P p x
式中 , , 是与能量尺度有关的常数。
（1），求出对易关系 ˆ ˆ[ , ]X Y 和 ˆ ˆ[ , ]x y
P P 。 （5 分）
(2), 若 ˆ ˆ ˆ ˆ[ , ] [ , ]x y
X P Y P i ，试求三个参数 , , 之间满足的关系。（5 分）
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、
5、
一，简答题 （每题 8 分共 48 分）
1， 什么是光的波粒二象性？什么是微观粒子的波粒二象性？并举例说明。
2， 叙述量子力学中描述微观粒子状态的波函数的统计解释，并说明波函数应满足的条件。
3， 写出量子力学薛定谔方程和定态薛定谔方程，并从定态薛定谔方程的解出发构造薛定
谔方程的一般解的表达形式。
4， 叙述什么是量子力学中的隧道效应。
5， 简述厄米算符的定义，并证明厄米算符的本征值为实数。
6， 设两力学量算符 ˆ ˆ,A B 满足对易关系 ˆ ˆˆ[ , ]A B iC ，写出力学量 A 和 B 的测不准关系式。
并以坐标和动量为例说明测不准关系的物理意义。
7， 量子力学中处理弹性散射问题常用的两种方法是分波法和波恩近似，叙述两种方法的
适用范围。
8， 叙述什么是玻色子什么是费米子，两类粒子各服从什么统计规律？
二，计算题 102 分
1，一维运动的粒子处于如下波函数所描述的状态：
00
0
)(
x
xAxe
x
x
式中 0 ，（1）求波函数的归一化常数 A; (2)求粒子的概率密度分布函数； （3）在
何处发现粒子的概率最大？ （21 分）
2006 年 专业 凝聚态物理 科目 量子力学 （本考试科目共 2 页 本页第 1 页） 2006 年 专业 凝聚态物理 科目 量子力学 （本考试科目共 2 页 本页第 2 页）
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