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杭州师范学院硕士研究生入学考试命题纸 杭州师范学院硕士研究生入学考试命题纸
杭 州 师 范 学 院
2007 年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码： 414
考试科目名称： 高等代数
四、(20 分)
设 A=
3021
10
1231
kk （k∈R）分别求矩阵 A 的秩；并求 AX=0 的基础解系。
五、 (15 分)
a 为何值时，下列线性方程组有惟一解？无解？无穷多解？并给出一般解。
3)3()1(3
)1(
2)3(
321
321
321
xaaxxa
axxaax
axxxa
六、(20 分)
σ 是向量空间 F4
上的线性变换，对于任意 ξ∈F4
，有 σ(ξ)=Aξ；其中
A=
7931
1813
3211
1511
求线性变换σ 的像和核的基与维数．
七、(20 分)
设 A=
050
111
141
，B=
100
110
111
，C=
011
514
011
．
若 A 为三维向量空间 V 的线性变换 σ 关于基{α1，α2，α3}的矩阵，则 B 与 C 是
σ 关于 V 的其他基的矩阵吗?试予以判断，并说明理由。
八、(20 分)
已知二次型 f(x1,x2,x3)=5 2
1
x +5 2
2
x +t 2
3
x -2x1x2+6x1x3-6x2x3 的秩为 2，
1） 确定参数 t；
2） 用正交变换把二次型化为标准形，并给出所用的正交阵；
3） 指出方程 f(x1,x2,x3)=1 表示何种二次曲面。
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、
5、
一、(20 分)
设 A∈Mn(C)，f(x)∈C[x]，且
0
f(x)＞0，g(x)是以 A 为根的次数最低的多项式，
求证：1、若(f(x)，g(x))= d(x)，则 d(A)的秩与 f(A)的秩相等；
2、f(A)可逆 (f(x)，g(x))=1．
二、(20 分)
计算 Dn=
n
n
n
nnnn
32
32
32
3333
2222
1111
三、(15 分)
设 A 为 n 阶方阵，I 为 n 阶单位阵，且满足 A3
=3A(A－I)，试证 A－I 为可逆阵，
并求(A－I)-1
．
2007 年 考试科目代码 414 考试科目名称 高等代数 （本考试科目共 2 页 本页第 1 页） 2007 年 考试科目代码 414 考试科目名称 高等代数 （本考试科目共 2 页 本页第 2 页）
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