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北 京 科 技 大 学
2014 年硕士学位研究生入学考试试题
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试题编号： 825 试题名称： 高等代数 （共 2 页）
适用专业： 数学、统计学、固体力学
说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效.
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一(15 分)、设 1
1 1 0
( )
n n
n n
f x a x a x a x a
是一个整系数多项式. 证明：如
果 1 1 0n n
a a a a
是奇数，则 ( )f x 既不能被 1x 整除，又不能被 1x 整除.
二(20 分)、计算行列式
1
2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
n
n
a
a
D
a
，其中 1 2
0n
a a a .
三(15 分)、设 A 为 n 阶方阵，证明： ( ) 1rank A 的充分必要条件是存在n 维非零
列向量 , ，使得 T
A ( ( )rank A 表示 A 的秩).
四(20 分)、(1)若 ,A B 都是 n 阶方阵，证明： ( ) ( ) ( )rank A rank B n rank AB .
(2)若 1 2
, , , s
A A A ( 2s )都是 n 阶方阵，证明：
1 2
1
( ) ( 1 ) ( )
s
i s
i
rank A n s rank A A A
五(30 分)、设 2
( )M P 是数域 P 上的全体 2 2 矩阵按照矩阵加法和数乘构成的线性
空间. 已知
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