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科目代码： 663 科目名称： 数学分析
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北京工业大学 2010 年硕士研究生入学考试试题
★ 所有答案必须做在答题纸上，做在试题纸上无效！
共十道题，每题 15 分
一、 证明：若 0 0a a= > ， 1
1
1 2
2
n n
n
a a
a
−
−
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
， L21 ，，=n ，则数列 { }na
收敛，求其极限。
二、 证明：若函数 )(xf 在[ , )a +∞ 上连续，且 lim[ ( )] 0
x
bx f x
→+∞
− = ，其中
b 为非零常数，则 )(xf 在[ , )a +∞ 上一致连续。
三、 证明：若 ( )bax ，∈∀ ，有 ( ) 0f x′′ ≥ ，则对 ( )1 2 , , nx , x x a, b∀ ∈L ，
下列不等式成立
[ ]1 2
1 2
1
( ) ( ) ( )n
n
x x x
f f x f x f x
n n
+ + +⎛ ⎞
≤ + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
L
L .
四、 设 2
1
( )
n
n
x
f x
n
∞
=
= ∑ ，0 1x≤ ≤ .
(1).证明： ( )0 1x ,∀ ∈ ,有
( ) (1 ) (ln ) ln(1 ) ( ) ;f x f x x x c+ − + − = 常数
(2).求常数 c .
五、求极限
22
1
3lim kn
n
kn
kn
−∑=∞→
.
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