2026 年上海海事大学考研真题样题（运筹学）

一、名词解释（每题 8 分，共 40 分）

1. 线性规划

• 答案：线性规划是运筹学中研究 “在资源约束下实现目标最优” 的核心分支，指在一组线性约束条件（如资源限量、生产工艺要求）下，寻求线性目标函数（如最大化利润、最小化成本）最优解的数学方法。其标准形式包含三要素：决策变量（待确定的未知量，如产品产量）、线性目标函数（目标与决策变量呈线性关系）、线性约束条件（含等式或不等式约束）。例如某工厂生产两种产品，需在原材料、设备工时约束下，确定产量使利润最大，即可通过线性规划建模求解。线性规划的求解方法主要有图解法（适用于 2 个决策变量）、单纯形法（适用于多变量），其最优解若存在，必在可行域的顶点处取得，是解决生产计划、资源分配等实际问题的重要工具。
• 解析：答题需涵盖 “定义 - 三要素 - 求解方法 - 应用场景”，重点突出 “线性” 这一核心特征（目标与约束均为线性），避免混淆 “线性规划” 与 “非线性规划”，体现其在优化问题中的基础地位，符合运筹学核心概念的考查要求。

2. 效用曲线

• 答案：效用曲线是决策理论中描述 “决策者对风险态度” 的曲线，以 “收益（或损失）” 为横轴，“效用值（决策者对收益的主观评价）” 为纵轴，反映不同决策者在面对风险时的偏好。根据曲线形状，决策者可分为三类：

1. 风险厌恶型：效用曲线为上凸曲线，决策者对收益的边际效用递减，更偏好确定收益（如选择 “确定获得 100 元” 而非 “50% 概率获得 200 元”）；
2. 风险中立型：效用曲线为直线，决策者对收益的边际效用不变，仅以期望收益为决策标准（如选择期望收益更高的方案）；
3. 风险偏好型：效用曲线为下凸曲线，决策者对收益的边际效用递增，更偏好高风险高收益（如选择 “50% 概率获得 200 元” 而非 “确定获得 100 元”）。
   效用曲线可通过 “对话法”（向决策者提问确定效用值）绘制，是解决不确定型决策问题的关键工具，例如企业投资决策中，可通过效用曲线判断决策者对不同投资方案的偏好，选择符合其风险态度的最优方案。

• 解析：需明确 “定义 - 曲线类型与风险态度 - 绘制方法 - 应用”，重点区分三类决策者的曲线特征，结合决策案例说明，避免仅描述曲线形状，体现其在风险决策中的实用价值，符合决策理论的考查重点。

3. 对偶定理

• 答案：对偶定理是线性规划中的核心定理，指每个线性规划问题（原问题）都对应一个唯一的对偶问题，且二者的最优解存在紧密关联。对偶定理的核心结论包括：

1. 弱对偶性：原问题的任意可行解目标函数值，不超过其对偶问题的任意可行解目标函数值（若原问题最大化，对偶问题最小化）；
2. 强对偶性：若原问题存在最优解，则对偶问题也存在最优解，且二者最优目标函数值相等；
3. 互补松弛性：原问题与对偶问题的最优解满足 “原问题某约束紧（等号成立）则对偶问题对应变量非零，原问题某变量非零则对偶问题对应约束紧”。
   例如原问题为 “最大化利润 = 3x₁+2x₂，约束 2x₁+x₂≤4，x₁+x₂≤3”，其对偶问题为 “最小化成本 = 4y₁+3y₂，约束 2y₁+y₂≥3，y₁+y₂≥2”，若原问题最优解为 x₁=1、x₂=2（利润 7），则对偶问题最优解为 y₁=1、y₂=1（成本 7），符合强对偶性。对偶定理不仅可用于验证原问题解的最优性，还能通过对偶变量（影子价格）分析资源的边际价值，为资源优化配置提供依据。

• 解析：答题需涵盖 “定义 - 核心结论 - 案例 - 应用”，重点解释弱对偶性、强对偶性的内涵，结合具体线性规划案例说明，避免仅罗列定理条文，体现其在线性规划求解与资源分析中的作用，符合线性规划理论的考查要求。

4. 确定型决策

• 答案：确定型决策是决策问题的三大类型之一（另两类为风险型、不确定型），指决策者在 “未来自然状态完全确定”（如需求量、成本等参数已知且固定）的条件下，通过比较各方案的确定结果选择最优方案的决策方式。其核心特征包括：自然状态唯一、每个方案对应唯一确定的结果、决策标准为 “直接比较结果优劣”（如最大化收益、最小化成本）。例如某商店已知下月商品需求量为 100 件，现有两种进货方案（方案 1：进货 100 件，成本 500 元；方案 2：进货 120 件，成本 600 元），因需求量确定，选择成本更低的方案 1（进货 100 件），即为确定型决策。确定型决策的求解方法包括线性规划、动态规划、图论等，适用于环境稳定、参数可精确预测的场景（如生产计划、运输路线规划），但需注意 “自然状态确定” 这一前提，若未来存在不确定性，则需转为风险型或不确定型决策。
• 解析：需明确 “定义 - 特征 - 决策标准 - 案例 - 方法”，重点区分确定型与风险型决策的差异（自然状态是否确定），结合实际决策案例说明，避免混淆 “确定型” 与 “风险型”，符合决策理论的考查要求。

5. 连通图

• 答案：连通图是图论中的基础概念，指无向图中 “任意两个顶点之间都存在至少一条路径”（无向路径，不考虑边的方向）的图；若为有向图，任意两个顶点之间存在双向路径则称为 “强连通图”，存在单向路径则称为 “弱连通图”。其核心特征是 “顶点间无孤立节点”，例如由顶点 1-2-3-1 构成的三角形图，任意两顶点间均有路径，为连通图；若图中顶点 1-2、顶点 3-4 无任何路径连接，则为非连通图（含两个连通分支）。连通图是解决网络优化问题的前提，如最短路径问题（需图连通才能寻找两点间路径）、最小生成树问题（需图连通才能生成覆盖所有顶点的树），在运输路线规划、通信网络设计等实际问题中应用广泛，例如物流企业需确保配送网点构成连通图，才能实现所有网点的货物运输。
• 解析：答题需涵盖 “定义 - 类型（无向 / 有向）- 特征 - 案例 - 应用”，重点区分无向连通图与有向强 / 弱连通图，结合图论问题（最短路径、最小生成树）说明应用，避免仅描述 “顶点相连”，体现其在网络优化中的基础地位，符合图论的考查要求。

二、计算题（共 100 分）

1. 课程选修问题：建立数学模型（20 分）

题目复述

• 专属类：微积分（M）、计算机程序（C）；
• 跨类：运筹学（M/O）、计算机模拟（C/O）、预测（M/O）；
• 先修要求：计算机模拟 / 数据结构→计算机程序，管理统计→微积分，预测→管理统计。
  求最少应学几门及哪几门课程，建立数学模型。

答案与解析

（1）定义决策变量

• x1​：微积分（M），x2​：计算机程序（C），x3​：运筹学（M/O），x4​：计算机模拟（C/O），x5​：预测（M/O），x6​：管理统计（先修：x1​=1），x7​：数据结构（先修：x2​=1）。

（2）目标函数（最小化选修课程数）

（3）约束条件

1. 类别约束（每类至少 2 门）
   • 数学类（M）：专属类（x1​）+ 跨类（x3​,x5​）≥2：x1​+x3​+x5​≥2
   • 运筹学类（O）：跨类（x3​,x4​,x5​）≥2：x3​+x4​+x5​≥2
   • 计算机类（C）：专属类（x2​）+ 跨类（x4​）+ 数据结构（x7​）≥2：x2​+x4​+x7​≥2
2. 先修约束（选修某课程需先修课程已选）
   • 计算机模拟（x4​）/ 数据结构（x7​）→计算机程序（x2​）：x4​≤x2​,x7​≤x2​
   • 管理统计（x6​）→微积分（x1​）：x6​≤x1​
   • 预测（x5​）→管理统计（x6​）：x5​≤x6​
3. 0-1 约束xj​∈{0,1},j=1,2,...,7

（4）模型分析

• 数学类：x1​+x3​=2（满足），运筹学类：x3​+x4​=2（满足），计算机类：x2​+x4​=2（满足）；
• 先修约束：x4​≤x2​（满足），无其他先修课程需求，故最少学 4 门。

解析

2. 线性规划对偶问题（15 分）

题目复述

答案与解析

（1）对偶问题构建步骤

1. 确定原问题类型：原问题为 “最大化目标 +≤约束 + 变量≥0”，对偶问题对应 “最小化目标 +≥约束 + 变量≥0”；
2. 定义对偶变量：原问题有 2 个约束，设对偶变量 y1​,y2​≥0（对应两个≤约束）；
3. 构建对偶目标函数：对偶目标函数系数为原问题约束右侧常数，即 minW=8y1​+9y2​；
4. 构建对偶约束条件：对偶约束系数矩阵为原问题系数矩阵的转置，约束方向为≥（对应原问题最大化），右侧为原问题目标函数系数：
   • 对应 x1​ 的约束：1⋅y1​+3⋅y2​≥2
   • 对应 x2​ 的约束：2⋅y1​+1⋅y2​≥3

（2）对偶问题最终形式

（3）对偶问题验证（强对偶性）

解析

3. 配料问题：建立线性规划模型（15 分）

题目复述

• 每单位产品中 Bi​ 不低于 bi​（i=1,...,m）；
• 原料 Aj​ 单价 cj​，现有数量 dj​，每单位 Aj​ 含 Bi​ 数量 aij​；
• 产品总量不低于 e。
  求总成本最低的配料方案，建立线性规划模型。

答案与解析

（1）定义决策变量

（2）目标函数（最小化总成本）

（3）约束条件

1. 成分约束（每单位产品含 Bi​ 不低于 bi​）

   原料提供的 Bi​ 总量 ≥ 产品总量 ×bi​，即：∑j=1n​aij​xj​≥bi​Q(i=1,...,m)
2. 原料数量约束（原料用量不超过现有数量）xj​≤dj​(j=1,...,n)
3. 产品总量约束（总量不低于 e）Q≥e
4. 非负约束（用量非负）xj​≥0(j=1,...,n),Q≥0

（4）模型简化（可选）

解析

4. 最短路径问题（20 分）

题目复述

答案与解析

（1）采用 Dijkstra 算法求解（适用于非负权网络）

1. 初始化：设节点 1 为起点，距离 d(1)=0，其他节点 d(i)=∞，已访问节点集 S={1}。
2. 迭代计算（更新未访问节点距离）
   • 第一步（从 1 出发）：d(2)=d(1)+2=2，d(6)=d(1)+4=4，其他节点仍为∞；选最小距离节点 2 加入 S，S={1,2}。
   • 第二步（从 2 出发）：d(3)=d(2)+7=9，d(6)=min(4,d(2)+5=7)=4；选最小距离节点 6 加入 S，S={1,2,6}。
   • 第三步（从 6 出发）：d(3)=min(9,d(6)+3=7)=7，d(5)=d(6)+8=12；选最小距离节点 3 加入 S，S={1,2,6,3}。
   • 第四步（从 3 出发）：d(4)=d(3)+1=8，d(7)=min(∞,d(3)+6=13)=13；选最小距离节点 4 加入 S，S={1,2,6,3,4}。
   • 第五步（从 4 出发）：d(7)=min(13,d(4)+5=13)=13；选最小距离节点 5 加入 S，S={1,2,6,3,4,5}。
   • 第六步（从 5 出发）：d(7)=min(13,d(5)+4=16)=13；所有节点访问完毕。
3. 最短路径与长度

   最短路径为 1→6→3→4→7，长度 13；或 1→6→3→7，长度 4+3+6=13，两条路径长度相同。

解析

5. 矩阵对策：优超关系求解最优策略（20 分）

题目复述

答案与解析

（1）优超关系定义

• 行优超：若行 i 的所有元素≥行 j 的对应元素，则行 j 被行 i 优超，可删除行 j；
• 列优超：若列 k 的所有元素≤列 l 的对应元素，则列 l 被列 k 优超，可删除列 l（列玩家 B 最小化收益，偏好元素小的列）。

（2）第一步：行优超分析（删除被优超的行）

• 比较行 3 与行 1：行 3 元素（3,3,4,2）均≥行 1 元素（0,3,-2,4）？行 1 第 4 列 4＞行 3 第 4 列 2，不优超；
• 比较行 3 与行 2：行 3 元素（3,3,4,2） vs 行 2（9,0,4,-1）：行 2 第 1 列 9＞3，第 4 列 - 1＜2，不优超；
• 比较行 4 与行 1：行 4 元素（1,4,3,4）均≥行 1（0,3,-2,4）：是！行 1 被行 4 优超，删除行 1，支付矩阵变为：A1​=​931​034​443​−124​​

（3）第二步：列优超分析（删除被优超的列）

• 比较列 2 与列 4：列 2 元素（0,3,4） vs 列 4（-1,2,4）：列 4 第 1 列 - 1＜0，第 2 列 2＜3，列 2 被列 4 优超，删除列 2，矩阵变为：A2​=​931​443​−124​​
• 比较列 1 与列 3：列 1 元素（9,3,1） vs 列 3（-1,2,4）：列 3 第 1 列 - 1＜9，第 2 列 2＜3，列 1 被列 3 优超，删除列 1，矩阵变为：A3​=​443​−124​​

（4）第三步：再次行优超分析

• 比较行 2 与行 1：行 2 元素（4,2）均≥行 1（4,-1）：是！行 1 被行 2 优超，删除行 1，矩阵变为：A4​=[43​24​]

（5）求解 2×2 矩阵对策最优策略

• A 的期望收益：E2​=4y+2(1−y)=2y+2，E3​=3y+4(1−y)=−y+4；
• 最优时 E2​=E3​：2y+2=−y+4 → y=2/3，则 1−y=1/3；
• A 的期望收益 v=2×(2/3)+2=10/3；
• 同理，B 的期望损失最小化，得 A 的最优策略 x=1/4，1−x=3/4。

（6）最终最优策略

• 行玩家 A：以 1/4 概率选原行 2，3/4 概率选原行 3，不选行 1、行 4；
• 列玩家 B：以 2/3 概率选原列 3，1/3 概率选原列 4，不选列 1、列 2；
• 对策值 v=10/3。

解析

6. 存贮论：期望费用计算（20 分）

题目复述

答案与解析

（1）存贮模型类型：单周期存贮模型（报童模型），年初订货后不补货，计算期望总费用（订货费 + 购货费 + 保管费 + 缺货费）。

（2）定义决策变量

（3）费用构成

1. 订货费：150 元（固定，与 Q 无关）；
2. 购货费：26Q 元（订货量 × 单价）；
3. 保管费：若 S≥D，保管费 = 1×(S-D)；若 S<D，保管费 = 0；
4. 缺货费：若 S<D，缺货费 = 80×(D-S)；若 S≥D，缺货费 = 0。

（4）期望费用公式

（5）确定最优订货量范围（先计算临界值）

• 缺货成本 Cu​=80 元 / 件（缺货损失），保管成本 Co​=1 元 / 件（剩余库存成本）；
• 临界值 N=80+180​≈0.9877。

• P(D≤40)=0.2，P(D≤50)=0.5，P(D≤60)=0.8，P(D≤70)=0.9，P(D≤80)=1.0；
• 累积概率≥0.9877 对应 S≥80，即 10+Q≥80 → Q≥70。

（6）计算 Q=70 时的期望费用（S=80）

1. 订货费 + 购货费：150 + 26×70 = 150 + 1820 = 1970 元；
2. 期望保管费：S=80≥D 对所有 D，故：=40×0.2+30×0.3+20×0.3+10×0.1=8+9+6+1=24元
3. 期望缺货费：S=80≥D，缺货费 = 0；
4. 总期望费用：1970 + 24 + 0 = 1994 元。

（7）验证 Q=60（S=70）的期望费用（对比）

• 订货费 + 购货费：150 + 26×60 = 150 + 1560 = 1710 元；
• 期望保管费：；
• 期望缺货费：；
• 总期望费用：1710 + 15 + 80 = 1805 元？（此处修正：临界值计算错误，重新计算临界值）

（修正）临界值重新计算

解析

三、备考建议与真题使用指南

1. 运筹学备考：构建 “模块 - 方法 - 应用” 三维知识体系

   从 2007 年真题可见，考查重点围绕 “线性规划（建模、对偶）”“图论（最短路径）”“对策论（矩阵对策）”“存贮论（期望费用）”“决策理论（确定型决策、效用曲线）”，备考时需：
   • 按 “模块” 梳理核心方法：如线性规划的单纯形法、对偶理论，图论的 Dijkstra 算法，对策论的优超关系，存贮论的单周期模型；
   • 强化 “建模能力”：针对实际问题（配料、课程选修），掌握 “定义变量 - 目标函数 - 约束条件” 的建模流程，避免仅记忆公式；
   • 提升 “计算能力”：通过真题练习线性规划求解、最短路径迭代、期望费用计算，确保步骤规范、结果准确。
2. 答题技巧：掌握 “建模规范 - 计算步骤 - 结果验证” 的答题法
   • 名词解释：按 “定义 - 核心特征 - 方法 - 应用”，如 “线性规划” 需突出线性约束与目标；
   • 计算题（建模）：按 “变量定义 - 目标函数 - 约束条件 - 说明”，确保约束逻辑清晰，变量含义明确；
   • 计算题（求解）：按 “方法选择 - 步骤迭代 - 结果验证”，如 Dijkstra 算法需逐步记录节点距离，矩阵对策需验证优超关系；
   • 结果分析：对求解结果进行简要说明（如最短路径的实际意义、最优订货量的合理性），体现对问题的理解。
3. 真题演练：结合高分答案详解优化答题规范

   通过考博信息网（http://www.kaoboinfo.com/）下载上海海事大学运筹学历年真题，按 “3 小时限时答题” 模拟考试，完成后对照高分答案详解：
   • 检查 “建模逻辑”：如约束条件是否完整，变量定义是否准确；
   • 优化 “计算步骤”：如 Dijkstra 算法是否遗漏节点，期望费用是否正确计算概率加权；
   • 提升 “结果呈现”：如矩阵对策需明确最优策略的概率，最短路径需写出具体路径。