2014年江苏大学招收硕士研究生入学考试大纲

全国硕士研究生入学统一考试数学专业《数学分析》考试大纲

I 考查目标

全国硕士研究生入学统一考试数学专业《数学分析》考试是为我校招收数学硕士生设置的具有选拔性质的考试科目。其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读数学专业硕士所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利于选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为数学学科及社会的发展培养具有良好职业道德、法制观念和国际视野、具有较强分析与解决问题能力的高层次、应用型、复合型的数学专业人才。考试要求是测试考生掌握分析、表达与解决问题的一些基本能力和技能。

具体来说就是：要求考生理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

II 考试形式和试卷结构

一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间180分钟。二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。不得使用带有公式和文本存储功能的计算器。三、试卷内容与题型结构一元函数微积分约占 60%，多元函数微积分约占 25%，无穷级数约占 20 有以下三种题型：填空题或选择题（20%）、计算题（30%）、综合题（50%）

III 考查内容

　　1、极限和函数的连续性

　　（1）熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量、无穷大量的概念及基本性质。

　　（2）掌握极限的性质及四则运算法则，能够熟练运用迫敛性定理和两个重要极限。

　　（3）熟练掌握：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，聚点定理，有限覆盖定理，Cauchy收敛准则；并理解其相互关系。

　　（4）熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够熟练地运用函数连续的四则运算与复合运算性质。

（5）熟练掌握闭区间上连续函数的基本性质：有界性定理、最值定理、介值定理，一致连续性。　

（6）熟练掌握实数基本理论和性质，会用实数理论及性质表达和证明相关命题。

2、一元函数微分学

　　（1）理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。

　　（2）熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。

（3）熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及

Taylor展式。

　　（4）能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凹凸性。

　　（5）掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。

　　3、一元函数积分学

　　（1）理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，初等函数的积分。

（2）掌握定积分的概念与性质及可积条件与可积函数类。

（3）熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值定理。

　　（4）能用定积分计算：平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积及在物理上的应用。

　　（5）理解反常积分的概念。熟练掌握判断反常积分收敛的比较判别法，Abel判别法和 Dirichlet判别法。

　4、无穷级数

　（1）理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。

　　（2）熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，比式判别法和根式判别法，积分判别法。

　　（3）熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的判别法。掌握绝对收敛级数的性质。

　　（4）熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Cauchy收敛准则， Weierstrass判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法。

　　（5）掌握幂级数及其收敛半径、收敛区间的概念。

　　（6）熟练掌握幂级数的性质。能够将函数展开为幂级数。理解余项公式。

　　（7）掌握傅里叶级数的概念与性质，掌握傅里叶级数展开的方法。

　　5、多元函数微分学与积分学

　　（1）理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，会求多元函数的偏导数与全微分，方向导数和梯度。

　　（2）掌握隐函数存在定理，隐函数和隐函数的求导方法。

　　（3）会求多元函数的极值和条件极值，了解偏导数的几何应用。

　　（4）熟练掌握重积分、两类曲线积分和两类曲面积分的计算。

　　（5）熟练掌握Gauss公式、Green公式及Stoks公式。

　　6、含参变量积分

（1）掌握含参变量正常积分、含参变量反常积分和欧拉积分的概念与性质及一致收敛的判别法。

　　（2）熟练掌握变上限积分及其性质。

IV. 题型示例及参考答案

1填空题（30分）：（1）极限；极限。（2）函数的间断点是，该间断点的类型是第二类间断点。（3）已知函数可导，且，则；若取。则 21 。（4）改变积分的积分次序为。其极坐标形式为。

（5）级数的和函数是，及收敛区间为。 2叙述的描述，证明数列发散。（6分）

【解】的描述：，使得对，，成立。数列发散：对任意实数，取，则可以取，则有，故数列发散。 3证明数列收敛，若及其极限为，进一步证明。（8分）【证明】利用二项展开式，将表示为，比较与相应各项，注意到

，得到，即数列是单调递增数列，又，当时，。

恒有，则有，即数列有界，根据数列收敛准则，数列收敛。若记，对任意，总是存在，使得则有，利用夹逼定理，我们得证证毕。 4设函数定义在上，在每一个有限区间内有界并满足。试证明： .（10分）【证明】由题设条件知，对，（），当时，成立（1）任取，记，，则显然，于是，，由（1）式，有（2）根据在上的有界性，有，及，于是，当时，成立，（3）又（4）现在取，则当时，）2）（3）同时成立，由（4）我们得到。 5.设函数在区间只有可去间断点，令，证明为连续函数。（6分）

【证明】记的间断点全体为，记，由题设，在上处处有定义。。由，对任意，存在，当。且时，总有（1）对任意，考虑到开邻域的开集性质，存在，则对任意且，（1）成立，令，取极限得到，也即即对任意，成立，则，证明在处连续，由于的任意性，证明为连续函数。 6..已知在区间内具有单调的导数，证明的导函数在区间内连续。（6分）【证明】不妨设在内单调递增，对任意，在在的左半邻域中，单调递增且以为其上界，在的右半邻域中，单调递增且以为下届，则由单调有界定理，极限和存在，由单侧导数的定义。知道，，因为存在，其左右极限相等，故而得到。则在连续，由的任意性，得证在区间内连续。 7..设函数在区间上二阶可导且，试证明：存在点，使得。（8分）【证明】取，由题设，得到下列Taylor展式：，，（1），，（2）由（1）和（2），并注意到题设条件得到，记，则。

8..证明;闭区间的全体聚点的集合是本身（8分）【证明】（1）设，若，则对的任意邻域，取，则，，即中含有的无数个点，即为的聚点。若，取，则，，在内含有的无穷多个点，则为的据点。同理可证也是的聚点。（2）设为的聚点，且，则或，不妨设为，则取，则且，则在中不含的点，与聚点相矛盾，故综合（1）和（2）证得。 9..设和均为定义在上的有界函数，若已知仅在上有限个点处成立，则当在上可积时，在上也可积，且。（8分）【证明】设和仅在个点上取值不同，记，。对，存在，使当时，有，令，则当时，有（1）当时，，则中至多有项不为0，故从（1）式得到，由此证得在上可积且。

101.设在上连续，且，证明：。（8分）【证明】对任意，由，存在，当，有，且在， f 注意到的连续性，得知在闭区间上连续有界，故令

则得到，即。 11.已知曲线，其中，试求：（1）该曲线的弧长；（2）曲线所围图形的面积；（3）曲线绕极轴旋转所成立体的曲面面积（12分）。【解】（1）由题设可知曲线关于极轴对称，故，所以；（2）曲线所围图形面积为。

（3）曲面面积。

12.已知级数收敛，且级数绝对收敛，证明级数收敛。（8分）

【证明】因为级数收敛，根据Cauchy收敛准则，对，存在，使得当，对任意自然数，都有（1）由于绝对收敛，对上述，存在，使得当，对任意自然数，成立（2）由根据收敛的定义。级数的部分和有界，即有界，也即。利用Abel变换得到，当时，对任意自然数。有。根据Cauchy收敛准则，级数收敛。 13.设函数在区间上连续，证明：（1）在上收敛；（2）在上一致收敛的充要条件是什么？证明之。（8分）【证明】（1）直接计算得到，由此证明数列在上收敛；（2）上述数列在上一致收敛的充要条件是。

必要性“由的连续性，故其在上有界，又函数数列一致收敛且在该区间上连续，则其极限函数在该区间上也连续，故。

充分性“设，因为，导数数列的极限函数，考虑到在处连续，所以对，存在（不妨设），当时，

，由此我们得到：当时，，当时，，显然。综上所述，在上一致收敛。 14.已知为区间上可积函数，且其Fuier级数在上一致收敛于，证明成立Parseval等式：。（8分）【证明】由题设，，所以（这里用到了收敛的一致性质，即和运算于积分运算可交换次序）

。 15..已知一元函数在区间上连续，令

，，试证明（1）是否连续？(2) 是否一致连续？（8分）

【证明】（1）由题设，对，连续，即对，存在，当，恒有，故对任意，对任意，取，则当（此时满足），得知在点处连续，由的任意性，得到在上处处连续。 (2)因为在闭区间上连续，故在闭区间上一致连续，与（1）类似可以证明是一致连续的。 16.设和在点的某邻域内存在，且在点处连续，试证明：存在且。（8分）【证明】注意到的定义表达式，令，对固定的则，由题设知道在邻近可导，根据微分中值定理，得到，其中介于和之间。又由题设知道，在邻近关于变量可导，所以，其中介于和之间，也即（时），（时），得到，所以，考虑到在点处连续，即证得存在且 .