考试大纲

常微分方程考试大纲（2009版）


一、考试内容与要求
（一）绪论
1、了解微分方程刻画客观世界中时变关系的意义，会对某些实际问题建立微分方程模型。
2、掌握有关微分方程的基本概念（常微分方程与偏微分方程、线性与非线性、阶数、通解与特解等）。
3、了解一阶方程及其解的几何意义（方向场和积分曲线）。

（二）一阶微分方程的初等解法
1、能准确识别一阶方程的类型。
2、掌握变量分离方程、齐次方程及可化为变量分离方程的解法。
3、掌握一阶线性方程、贝努利方程的解法。
4、了解恰当方程的概念，掌握恰当方程的判断条件及解法；了解积分因子的概念，掌握求积分因子的三种方法（观察法，μ（x，y）=μ（x），μ（x，y）=μ（y））。
5、掌握解出y（或x）的一阶隐式方程以及缺少变量y（或x）的一阶隐式方程的解法。

（三）一阶微分方程的存在唯一性定理
1、理解和掌握存在唯一性定理及其证明。
2、会求方程的近似解并估计其误差。
3、了解有界及无界区域中解的延拓定理。
4、了解解对初值的连续依赖定理和解对初值可微性定理。
5、理解奇解的概念并会求方程的奇解。

（四）高阶微分方程
1、掌握齐线性方程解的性质和通解的结构。
2、掌握非齐线性方程通解的结构和常数变易法，会用比较系数法求非齐线性方程的一个特解。
3、能熟练地求常系数线性方程的通解，会求Euler方程的通解。
4、会用降价法求高阶方程的解。
5、掌握二阶线性方程的幂级数解法。

（五）线性微分方程组
1、理解一阶线性方程组的存在唯一性定理。
2、理解线性方程组解的性质。
3、掌握线性方程组通解的结构，会用常数变易法求非齐线性方程组的一个解向量。
4、会求常系数线性方程组的基解矩阵及exp(At)。
5、了解常系数线性方程组解向量当t→+∞时的性态。

（六）非线性微分方程
1、了解非线性微分方程的概念，掌握自治微分方程组的基本性质。
2、掌握二维线性微分系统的各类相图：鞍点、结点、焦点、中心；会按线性近似确定微分方程组解的稳定性。
3、掌握判断稳定性的Liapunov第二方法。
4、了解微分方程的周期解与极限环的概念，会应用Poincare-Bendixson定理判断极限环的稳定性。