已知f(xy)=f(x)+f(y)且f'(1)=a,x≠0,求f'(x)=? (答案为a/x)
【思路1】原方程两边对Y进行求偏导
xf'(xy)=f'(y) 其中f'(xy)与f'(y)都是对y偏导数
xf'(x*1)=f'(1)=a 得 f'(x)=a/x
【思路2】当⊿x→0时,令x+⊿x=xz则z=(1+⊿x/x)
由f'(x)=[f(x+⊿x )-f(x)]/ ⊿x
={f[x(1+⊿x/x)]-f(x)}/⊿x
=[f(x)+f(1+⊿x/x)-f(x)]/⊿x
=f(1+⊿x/x)/⊿x =f'(1)/x=a/x
已知函数f(x+y,x-y)=x2-y2, 则f对x的偏导数加f对y的偏导数等于? (a)2x-2y (b)x+y
【思路1】设U=x+y,v=x-y
f(u,v)=uv
f'x=f'u*u'x+f'v*v'x=v*1+u*1=u+v
f'y=f'u*u'y+f'v*v'y=v-u
f'x+f'y=u+v+v-u=2v=2(x-y)=2x-2y 选A
【思路2】由已知f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y),
令u=x+y, v=x-y, 则f(u,v)=uv,于是f(x,y)=xy,故答案为(b).
结论:b应该是对的,复合函数是相对与自变量而言的,自变量与字母形式无关,参见陈文灯的考研书。
已知方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根分别在区间(0,1)和(1,2)内,则k的取值范围是什么?答案为(-2,-1)U(3,4)
【思路】画图可得f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0代入计算即可
A,B是一次随机实验的两个事件,则————
A. A-(B-A)=A-B B. A-(B-A)=A
【思路】b,利用定义可得
已知随机变量X的密度的函数是:
f(x)=
其中m>0,A为常数,则概率P{m<X<m+a} (a>0)的值一定是:____
A、与a无关,随着m的增大而增大
B、与m无关,随着a的增大而增大
C、与a无关,随着m的增大而减少
D、与m无关,随着a的增大而减少
【思路】P{m<X<+∞} (a>0)= dx=Ae-m=1 A=em
P{m<X<m+a}=F(m+a)-F(m)= -
= =Ae-m [1-e-a]= 1-e-a a>0 答案为B
设X是连续型随机变量,其分布函数是F(X),如果EX存在,则当x->+∞时,1-F(x)是1/x的___。
A、等价无穷小 B、高价无穷小
C、低价无穷小 D、同价无穷小
【思路】由于EX存在,xf(x)的无穷积分收敛且为1/x的高阶无穷小;
因为函数g(x)=1/x的无穷积分积分不收敛可知,由比较判别法可知,如果为同阶或低阶无穷小,则xf(x)不收敛。
设有编号为1,2,3,...,n的n个求和编号为1,2,3,...,n的n个盒子。现将这n个球放入n个盒子内,要求每个盒子内放一个球,并且恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同,则这样的投放方法的总数为?
【思路】任给2 个球的编号和盒子的编号相同,则剩下n-2个球没有一个编号相同;
而剩下n-2个球没有一个编号相同的概率为1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!;
[注意:上面用到了这n个球放入n个盒子内,要求每个盒子内放一个球,至少有一个球的编号和盒子的编号相同的概率为1-1/2!+1/3!-...+(-1)^(n-1)/n!;]
故恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同的概率为(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!);
给定2个球的编号和盒子的编号相同后可能的投放方法为(n-2)!*(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!).
n个球中任取两个的可能取法为C(2,n);
2者相乘得出:恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同,的投放方法的总数为C(2,n)*(n-2)!*(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!)=(n!/2)!*(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-2)/(n-2)!).
当n趋于无穷大时,取法为(n!/2)*[e^(-1)];
【思路】如果以m代替2,通解为
C(m,n)*(n-m)!*(1/2!-1/3!+...+(-1)^(n-m)/(n-m)!)
注:机工版P52页21题如下:
设有编号为1,2,3,4,5的5个求和编号为1,2,3,4,5的5个盒子。现将这5个球放入这5个盒子内,要求每个盒子内放一个球,并且恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同,则这样的投放方法的总数为?
取n=5;取法为(5!/2)*(1/2!-1/3!)=20
设随机变量X的分布函数为F(x),则Y=-2logF(X)的概率密度函数P(y)=_________.
【思路】F(y)=P(Y y)=P(-2logF(X) y)=P{F(X) e-y/2},
令F(X0)= e-y/2,因为F(X)是非减函数,
故事件F(X) F(X0)= e-y/2等价于事件X X0,
则P{F(X) e-y/2}=P(X X0)=1-P(X X0)=1-F(X0)=1- e-y/2,
P(y)=[F(y)]’=(1/2)e-y/2
一个盒子里有红球一只,白球一只,黑球一只,每次从盒子里取一个球,观察颜色后放回再取,直到三种颜色的球都取到为止。求取球的次数不少于6次的概率。
【思路】Ai=第i次三种颜色的求全取到i 3,B=取球的次数不少于6次,
所求概率是P(B)=P(A6)+P(A7)+P(A8)+...
K 3时,第K次取到三个球时,前K-1次取到另两种颜色的球,
故P(AK)= [2K-1-2]/3K{意思是前K-1次时,每一次从两种颜色中取,去掉同色的两种情况,第K次取第三种颜色}=
P(B)= =分解为两个等比数列求和=31/81
库房有十箱零件(每箱都有许多),有6箱用新工艺做的,全合格。其余用旧工艺完成,75%的合格率。现随机打开一箱取出三个,检查其中一个为合格品,求另外两个也合格的概率。
(答案为41/41=0.85)
【思路1】Ai=正品 (i=1,2,3) B=新工艺 C=旧工艺
P(B)=0.6 P(A/B)=1 P(C)=0.4 P(A/C)=3/4
所求:P(A2*A3/A1)=P(A1*A2*A3)/P(A1)
P(A1)=P(B)P(A1/B)+P(C)P(A1/C)=0.9
P(A1*A2*A3)=P(B)P(A1*A2*A3/B)+P(C)P(A1*A2*A3/C)
=0.6+0.4*(3/4)3
P(A2*A3/A1)=P(A1*A2*A3)/P(A1)=41/48
【思路2】由题可知首先取到的零件是新工艺还是旧工艺生产应是两
个互斥事件,所以令:A=新工艺生产 =旧工艺生产
B=取到一个合格品 C=另两个也合格
则:由题知,P(A)=0.6 P( )=0.4 P(B/A)=1 P(B/ )=0.75
求:P(CB/B)=?
解:∵P(AB)=0.6×1=0.6 P( B)=0.4×0.75=0.3
∴P(B)=P(AB)+P( B)=0.9
又∵P(C/AB)=1×1=1 P(C/ B)=0.75×0.75=0.5625
(注意,题中给出每箱中零件是大量的,所以其概率直接用0.75乘以0.75)
∴P(CAB)=1×0.6=0.6 P(C B)=0.5625×0.3=0.16875
∴P(CB)=0.6+0.16875=0.76875
∴P(BC/B)=0.76875÷0.9=41/48=0.8541