概率论是首都经济贸易大学统计学类博士研究生招生考试的核心专业科目，其真题对把握概率论命题方向、提升概率理论分析与应用能力具有关键指导意义。考生可通过以下权威渠道获取该校全学科考博真题（含概率论、各专业课等）及配套高分答案详解，为备考提供精准资源支撑：
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首都经济贸易大学概率论考博真题覆盖多年份，所有年份真题均配备完整、精准的高分答案详解，解析由概率论专业教研团队编写，涵盖考点定位、概率问题现象分析、理论逻辑推导及学术观点梳理，能帮助考生高效掌握命题规律与应试策略。以下为首都经济贸易大学概率论考博真题（精选题目）及答案详解，助力考生针对性备考。
(本题 10 分) 在单位圆周上任取 3 点，求此 3 点构成钝角三角形的概率。
考点定位：本题考查概率论的几何概率与三角形性质结合的核心内容，聚焦单位圆周上三点构成钝角三角形的概率计算，是概率论学科中几何概率应用、图形性质分析研究的重点考点。
逻辑推导：
- 设单位圆周上三点为\(A,B,C\)，不妨固定点A在圆周上的位置（由于圆周的对称性，固定A不影响概率结果），设点B和C的位置用圆周上的弧长角度x和y表示（\(x,y \in [0,2\pi)\)，且不妨设\(x \leq y\)）。
- 三点构成钝角三角形的充要条件是存在一个角大于\(90^\circ\)，对应圆周上存在一段弧长大于半圆（\(\pi\)）。
- 当弧AB大于半圆时，\(\angle ACB\)为钝角；同理弧BC或弧AC大于半圆时，对应角为钝角。
- 利用几何概率的测度计算，可得三点构成钝角三角形的概率为\(\frac{3}{4}\)。
学术扩展：
单位圆周三点构成钝角三角形的概率研究反映了概率论中几何概率与几何图形性质的深度融合。在当代概率论研究中，如何将此类几何概率问题拓展到更高维空间或更复杂图形中，如何结合数值模拟验证几何概率的计算结果以提升应用可靠性，是学者们关注的热点问题。同时，这一研究也为概率在几何、统计等交叉领域的应用提供了理论指导，体现了概率论学科的价值与应用意义。
(本题 15 分) 不断投掷一均匀正十二面体直至所有面均朝上出现过，求平均投掷次数。
考点定位：本题考查概率论的期望计算与 coupon collector 问题核心内容，聚焦正十二面体所有面出现的平均投掷次数，是概率论学科中期望应用、经典概率模型研究的重点考点。
逻辑推导：
- 该问题属于 coupon collector 模型，设X为投掷次数，将X分解为\(X = X_1 + X_2 + \dots + X_{12}\)，其中\(X_1 = 1\)（第一次投掷得到第一个新面），\(X_2\)为从得到第一个新面后到得到第二个新面的次数，\(\dots\)，\(X_{12}\)为从得到第 11 个新面后到得到第 12 个新面的次数。
- 对于\(X_k\)（\(k \geq 2\)），其服从几何分布，成功概率为\(\frac{12 - (k - 1)}{12} = \frac{13 - k}{12}\)，因此\(E[X_k] = \frac{12}{13 - k}\)。
- 则\(E[X] = \sum_{k=1}^{12} E[X_k] = 1 + \frac{12}{11} + \frac{12}{10} + \dots + \frac{12}{1} = 12 \times (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{12})\)，计算可得具体数值。
学术扩展：
coupon collector 模型的研究反映了概率论中期望计算与实际问题的紧密结合。在当代概率论研究中，如何拓展该模型到非均匀概率分布或多维度收集目标的场景中，如何分析其在大数据采样、信息检索等领域的应用价值，是学者们关注的热点问题。同时，这一研究也为概率模型在实际决策、资源优化中的应用提供了理论指导，体现了概率论学科的价值与应用意义。
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建议考生结合真题及答案详解系统备考，重点掌握 “概率论经典模型解读”“概率问题现象辩证分析”“学术前沿追踪” 三大能力，同时关注概率论前沿研究（如 coupon collector 模型的拓展应用研究、几何概率在复杂图形中的创新研究等），提升学术表达与问题解决能力，预祝各位考生考博成功！
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