国防科技大学数理逻辑考博真题

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国防科技大学数理逻辑考博真题（精选）

一、真题文本

1. 若x在\(\Gamma\)中无自由出现，则\(\Gamma \vdash A \rightarrow \forall x.A\)。
2. 设\(\mathscr{S}\)为某一阶系统，\(\Gamma = \{ p \rightarrow q \mid p\)与q为命题常元\(\}\)，则\(\text{Th}(\mathscr{S} \cup \Gamma) = \mathscr{L}(\mathscr{S})\)。
3. 若\(\mathscr{A}\)为句子集\(\Gamma\)的等词模型，则必然存在与\(\mathscr{A}\)初等等价的\(\Gamma\)的非等词模型。

二、答案解析（附考点定位、核心要点及学科价值）

数理逻辑核心解析

1. 量词推理规则的判断题解析

• 答案：正确（√）
• 考点定位：一阶逻辑的自然推理规则，是证明论的基础考点；
• 核心解析：
  一阶逻辑中，全称量词引入规则（∀- 引入）的条件是：变元x在前提集\(\Gamma\)中无自由出现（避免前提对x的约束）。此时若\(\Gamma \vdash A\)，则可推出\(\Gamma \vdash \forall x.A\)，而\(A \rightarrow \forall x.A\)是该推理的蕴含形式，因此该命题成立。
• 学科价值：是一阶逻辑形式证明的核心规则，直接支撑数学定理的形式化推导。

2. 系统理论闭包的判断题解析

• 答案：错误（×）
• 考点定位：一阶系统的理论（Th）定义，是证明论的核心考点；
• 核心解析：
  \(\text{Th}(\mathscr{S} \cup \Gamma)\)表示 “\(\mathscr{S} \cup \Gamma\)的所有逻辑后承组成的集合”，而\(\mathscr{L}(\mathscr{S})\)是\(\mathscr{S}\)的语言（所有合式公式集合）。
  由于\(\Gamma = \{ p \rightarrow q \mid p,q为命题常元 \}\)包含非重言式的蕴含式（如\(p \rightarrow q\)不是重言式），其逻辑后承是\(\mathscr{L}(\mathscr{S})\)的子集（仅包含\(\mathscr{S} \cup \Gamma\)能推出的公式），而非整个语言集合，因此\(\text{Th}(\mathscr{S} \cup \Gamma) \subsetneq \mathscr{L}(\mathscr{S})\)，命题错误。
• 学科价值：是区分 “语言” 与 “理论” 的关键，直接支撑形式系统的语义与语法一致性分析。

3. 等词模型与初等等价的判断题解析

• 答案：错误（×）
• 考点定位：模型论的初等等价性与等词模型，是模型论的核心考点；
• 核心解析：
  若\(\Gamma\)包含等词公理（如\(\forall x(x=x)\)、\(\forall x\forall y(x=y \rightarrow y=x)\)等），则\(\Gamma\)的所有模型都是等词模型（满足等词的自反、对称、传递性），此时不存在 “\(\Gamma\)的非等词模型”，更无法与\(\mathscr{A}\)初等等价。因此该命题不成立（仅当\(\Gamma\)不含等词公理时可能成立，但题目未限定）。
• 学科价值：是模型分类与范畴性分析的基础，直接支撑代数结构的模型论研究。

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