国防科技大学高等数值分析考博真题

高等数值分析是国防科技大学工科、理科等专业博士研究生招生考试的核心科目，聚焦插值多项式、数值逼近等核心内容，对考生的数值计算理论储备与推导证明能力具有关键考查意义。考生可通过以下权威渠道获取该校全学科考博真题（含高等数值分析、各专业课等）及配套高分答案详解，为备考提供精准资源支撑：

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国防科技大学高等数值分析考博真题（精选）

一、真题文本

国防科技大学 2018 年博士研究生入学考试试题

科目名称：高等数值分析

科目代码：2106

考生注意：答案必须写在统一配发的专用答题纸上！（可不抄题）

一、（20 分）

已知在节点

x_0,x_1,\cdots,x_n

处的函数值为

f_0,f_1,\cdots,f_n

，

\(f(x)\)

的次数

\leq n

的插值多项式为

p(x)=a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n

则

p(x)=C \begin{vmatrix} 0 & 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \\ f_0 & 1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n \\ f_1 & 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ f_n & 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{vmatrix}

其中

C

是某个常数，确定

C

并证明此公式。

二、答案解析（附考点定位、核心要点及学科价值）

高等数值分析核心解析

考点定位：本题考查多项式插值的行列式表示（范德蒙德插值公式），是数值逼近中插值理论的核心考点。

1. 常数 $C$ 的确定与公式证明

考点定位：插值多项式的行列式形式推导，是数值分析中插值理论的核心考点；
核心解析：
步骤 1：分析行列式的结构
所给行列式是 $$(n+2)$$ 阶行列式，将其按第一行展开，展开式为关于 $x$ 的 $n$ 次多项式（因第一行含 $$x^k$$ 项， $k=0,1,\cdots,n$ ），形式为：
$\begin{vmatrix} 0 & 1 & x & \cdots & x^n \\ f_0 & 1 & x_0 & \cdots & x_0^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ f_n & 1 & x_n & \cdots & x_n^n \end{vmatrix} = \sum_{k=0}^n A_k x^k$
其中 $$A_k$$ 是展开后的系数，因此该行列式是 $n$ 次多项式。

步骤 2：确定常数 $C$
插值多项式 $$p(x)$$ 满足 $$p(x_i)=f_i$$ （ $i=0,1,\cdots,n$ ）。将 $$x=x_i$$ 代入行列式：
当 $$x=x_i$$ 时，行列式的第一行与第 $$i+2$$ 行（对应 $$x_i$$ 的行）除第一列外完全相同，因此行列式值为 $0$ ，即：
$C \cdot 0 = p(x_i) = f_i$
需通过 $x$ 的特殊值（如 $x$ 为插值节点外的点）确定 $C$ 。取 $$p(x)$$ 为插值多项式，对比范德蒙德插值公式，已知 $n$ 次插值多项式的行列式形式为：
$p(x) = \frac{1}{V} \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \\ 1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{vmatrix} \sum_{i=0}^n f_i \frac{V_i}{V}$
（ $V$ 是范德蒙德行列式， $$V_i$$ 是余子式）。结合题目行列式的展开，当按第一列展开时，第一行第一列元素为 $0$ ，第一列的余子式是范德蒙德行列式的相反数，因此：
$C = \frac{1}{(-1)^{1+1} V} = \frac{1}{-V}$
其中 $V = \prod_{0 \leq j < i \leq n} (x_i - x_j)$ （范德蒙德行列式值）。

步骤 3：证明公式
所给行列式按第一行展开后，是 $n$ 次多项式，且在 $$x=x_i$$ 处值为 $0$ ，因此它与插值多项式 $$p(x)$$ 仅相差一个常数因子 $C$ 。通过对比 $$x^n$$ 的系数：
行列式中 $$x^n$$ 的系数为 $(-1)^{1+(n+2)} \cdot M$ （ $M$ 是 $$x^n$$ 的余子式，即范德蒙德行列式 $V$ ），而 $$p(x)$$ 中 $$x^n$$ 的系数为 $$a_n$$ ，因此：
$C \cdot (-1)^{n+3} V = a_n$
结合插值多项式的系数表达式，最终确定：
$C = \frac{1}{-V} = \frac{1}{-\prod_{0 \leq j < i \leq n} (x_i - x_j)}$

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