河北农业大学数理统计考博真题

数理统计是河北农业大学相关理科、农科专业博士研究生招生考试的核心科目，聚焦抽样分布、期望与方差计算等统计核心内容，对考生的数理统计专业素养具有关键考查意义。考生可通过以下权威渠道获取该校全学科考博真题及配套高分答案详解：

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河北农业大学数理统计考博真题覆盖多年份，所有真题均配备精准解析，能帮助考生高效掌握命题规律。以下为 2017 年该科目考博真题（精选）及答案详解：

河北农业大学数理统计考博真题（精选）

一、真题文本

河北农业大学 2017 年攻读博士学位研究生入学考试试题 [B] 卷

科目名称：数理统计

科目代码：2006

一、（12 分）设

X_1,X_2,\cdots,X_{24}

是来自总体

X \sim N(0,\sigma^2)

的简单随机样本，

\overline{X},S^2

分别为样本均值和样本方差.

（1）求参数

\(a,b,c\)

，使得

Y = a(X_1 - X_2)^2 + b(3X_3 + 4X_4)^2 + c\sum_{i=5}^{24}X_i^2

服从卡方分布，并指出它的自由度；

（2）求参数

k

，使得满足

E(2S^2 + k\overline{X}^2) = \sigma^2

，并求

D(2S^2 + k\overline{X}^2)

二、答案解析（附考点定位、核心要点）

核心解析

考点定位：本题聚焦正态总体的抽样分布、卡方分布的构造及期望方差计算，是数理统计的核心考点。

1. 卡方分布的参数求解（第 1 问）

考点定位：卡方分布的构造条件（独立标准正态变量的平方和），是抽样分布的核心考点。
答案详解：
已知 $X_i \sim N(0,\sigma^2)$ 且相互独立，需将各项转化为标准正态变量的平方：
对于 $$X_1 - X_2$$ ： $X_1 - X_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$ ，故 $\frac{X_1 - X_2}{\sigma\sqrt{2}} \sim N(0,1)$ ，因此 $a = \frac{1}{2\sigma^2}$ ；
对于 $$3X_3 + 4X_4$$ ： $3X_3 + 4X_4 \sim N(0, (9+16)\sigma^2)=N(0,25\sigma^2)$ ，故 $\frac{3X_3 + 4X_4}{5\sigma} \sim N(0,1)$ ，因此 $b = \frac{1}{25\sigma^2}$ ；
对于 $\sum_{i=5}^{24}X_i^2$ ： $X_i \sim N(0,\sigma^2)$ ，故 $\frac{X_i}{\sigma} \sim N(0,1)$ ，因此 $c = \frac{1}{\sigma^2}$ 。

此时

Y

是 3 个独立标准正态变量的平方和（第 1 项 1 个、第 2 项 1 个、第 3 项 20 个），故

Y \sim \chi^2(1+1+20)=\chi^2(22)

，自由度为 22。

2. 参数 $k$ 及方差计算（第 2 问）

考点定位：样本均值与方差的期望、方差性质，是数理统计的基础考点。
答案详解：
（1）求 $k$ ：
已知 $E(\overline{X})=0$ ， $D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{24}$ ，故 $E(\overline{X}^2)=D(\overline{X})+[E(\overline{X})]^2=\frac{\sigma^2}{24}$ ；
又 $E(S^2)=\sigma^2$ ，代入 $E(2S^2 + k\overline{X}^2) = \sigma^2$ 得：
$2\sigma^2 + k \cdot \frac{\sigma^2}{24} = \sigma^2 \implies k = -24$

（2）求

D(2S^2 + k\overline{X}^2)

：

已知

\frac{23S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(23)

，故

D(S^2)=\frac{2\sigma^4}{23}

；

\overline{X} \sim N(0,\frac{\sigma^2}{24})

，故

\overline{X}^2 \sim \frac{\sigma^2}{24}\chi^2(1)

，

D(\overline{X}^2)=\frac{\sigma^4}{24^2} \cdot 2 = \frac{\sigma^4}{288}

；

且

\overline{X}

与

\(S^2\)

独立，因此：

D(2S^2 -24\overline{X}^2) = 4D(S^2) + 24^2D(\overline{X}^2) = 4 \cdot \frac{2\sigma^4}{23} + 576 \cdot \frac{\sigma^4}{288} = \frac{8\sigma^4}{23} + 2\sigma^4 = \frac{54\sigma^4}{23}

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建议考生重点夯实抽样分布、期望方差计算等核心内容，提升数理统计专业素养。