安徽师范大学数学系数学物理方程本科教学大纲

数学系《数学物理方程》教学大纲
学 时：51 学 分：
适用专业：师范类本科数学专业
大纲执笔人：刘树德 大纲审定人：鲁世平
一、说 明
1、课程的性质：地位和任务
《数学物理方程》作为高等学校数学专业与应用数学专业方向课程，主要讲
叙波动方程，热传导方程和调和方程这三类曲型的二阶线性偏微分方程的基本理
论与求解方法，同时也注意突出处理问题的思想方法。本课程直接联系着众多自
然现象和实际问题，所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学
分支的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。因此，数学物理方
程又是纯粹数学的许多分支和自然科学各部门及工程技术等领域之间的一个重
要的桥梁。
2、课程教学的基本要求
（1）了解将实际总是的归结为数学模型的一般步骤，学会利用数学手段抓
住问题的最本质的特征，作出一些理想化的假设等，掌握按规律列方程的基本方
法。
（2）了解波动方程。热传导方程和调和方程所反映的三类不同的自然现象
及其典型意义，理解、掌握这三类方程的基本定解问题的适定性、求解方法及解
的性质，初步领会一些处理问题的思想方法。
3、课程教学改革
（1）加强教学内容的整合力度，以社会发展的新科技、新成果充实教学内
容，通过课程教学不断提出或产生需要解决的新课题和新方法。注重知识内容的
相互渗透生配合，注重课程之间的衔接，提高课程综合化程度。
（2）深入进行教学方法的改革 彻底改变“一差堂”、“满堂灌”的传统教
学方法，多用启发式、讨论式、研究式的教学方法。特别重视对学生创新精神和
创新能力的培养。
（3）运用现代化教育技术手段提升教学水平。鼓励教师制作 CAI 课件，使
用多媒体授课，加快计算机辅助教学软件的开发。
二、大纲内容
第一章 波动方程（18 课时）
[内容要点]
弦振动方程的导出 定解条件 达朗贝尔公式 波的传播 齐次化原理
边界条件齐次化 分离变量法 球平均法 降维法 能量不等式
[教学要求]
1、了解弦振动方程、膜振动方程的导出过程，理解偏微分方程及其解、定
解条件、定解问题及定解问题适定性的概念。
2、掌握弦振动方程的达朗贝尔解法，理解应用齐次化原理处理非齐次方程
的情形。
3、熟练掌握运用分离变量法求解弦振动方程的初边值问题，了解处理非齐
次方程及非齐次边界条件的方法。
4、会用三维或二维波动方程的泊松公式求解相应的初值问题。
第二章 热传导方程（12 课时）
[内容要点]
热传导方程的导出 定解问题的提法 扩散方程 初边值问题的分离变量
法 傅里叶变换及其基本性质 热传导方程柯西问题的求解极值 解的渐近性
态
[教学要求]
1、了解热传导方程的导出过程，熟练掌握运用分离变量法求解热传导方程
的初边值问题。
2、熟记傅里叶变换及逆变换的表达式，理解并掌握傅里叶变换的基本性质，
并能在变换运算中熟练运用。
3、了解极值原理，它描述了扩散、传导等现象的热传导方程的重要特性。
调和方程（6 课时）
[内容要点]
导致调和方程和泊松方程的实例 格林公式 平均值定理 极值原理 格
林函数及其性质 静电源象法 调和函数的基本性质 球的泊松公式
[教学要求]
1、了解几个导致调和方程和泊松方程的实例，如引力位势，静电场的电位
势等。
2、理解格林公式及其应用，熟记调和函数的基本积分公式。
3、掌握运静电源象法构造格林函数的方法，熟记球域、圆域、上半空间、
上半平面等几种特殊区域上的格林函数，进而利用它求解相应区域的第一边值问
题。
第四章 二阶线性偏微分方程和分类与总结（6 课时）
[内容要点]
二阶线性方程 两个自变量的方程 方程的分类 特征概念 特征方程
三类方程的比较 线性方程的叠加原理 解的性质的比较 定解问题提法的比
较 先验估计
[教学要求]
1、了解两个自变量的二阶线性方程的化简理解二阶线性方程的特征概念及
特征理论。
2、熟练掌握两个自变量的二阶线性方程的分类，并以前三章对三类典型方
程的研究为基础，就双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程这三种不同类型的方
程的解的性质、定解问题的提法等方向能进行正确的分析和总结，比较它们确实
存在的一些本质的差别。
参考教材
[1]谷超豪等编，数学物理方程，高等教育出版社，2002 年 7 月第 2 版。
[2]陈昌平等编，数学物理方程，高等教育出版社，1989 年 2 月第 1 版。