2018年集美大学数学分析考研大纲

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集美大学 2018 年硕士研究生入学考试初试自命题考试大纲
考试科目代码：[605]
考试科目名称：数学分析
一、考核目标
（一）考查考生对数学分析的基本概念、基本理论、基本方法和基本计算的理解和
掌握程度。
（二）考查考生的基本计算能力，逻辑推理能力，抽象思维能力，分析和解决实际
问题的综合能力。
二、试卷结构
（一）考试时间：180 分钟，满分：150 分。
（二）题型结构
1、计算题：6 小题，每小题 12 分，共 72 分。
2、讨论题：2 小题。每小题 15 分，共 30 分。
3、证明题：4 小题，每小题 12 分，共 48 分。
三、答题方式
闭卷笔试。
四、考试内容
（一）一元函数微积分学部分，35%（52 分）
考试内容：
1、分析引论
函数初等特性；数列、函数极限分析定义；左、右极限；无穷小与无穷大定义；
无穷小的比较；极限一般性质、四则运算性质；极限存在判定准则；求极限方法；
函数的连续性；间断点及分类；函数一致连续性及判定法；闭区间上连续函数 4 条
性质；上(下)确界、上(下)极限、聚点概念；实数完备性的 7 个等价描述。
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2、一元函数微分学
导数概念及几何意义；导数四则、复合、反函数运算法则；隐函数、参量函数
求导方法；微分概念及几何意义；微分四则运算法则；高阶导数；高阶微分；求导
数或微分；Fermat 引理；Rolle、Lagrange 和 Cauchy 中值定理；两种余项形式的
Taylor 公式；洛必塔法则；函数单调性、凹凸性及判定法；函数极值点、拐点及判
定法；曲线渐近线与作图。
3、一元函数积分学
原函数概念；不定积分及性质；定积分概念；可积性判定准则；可积的充分条
件；定积分性质；定积分中值定理；变限积分函数及性质；原函数存在性；微积分
学基本定理；换元积分法；分部积分法；不定积分计算法；定积分计算法；定积分
在几何上应用。
考试要求：
1、理解变量极限及连续的概念，会判定极限的存在性，掌握求极限的基本方
法，掌握函数一致连续性的论证方法，掌握闭区间上连续函数的基本性质，理解上
(下)确界概念，了解实数完备性的等价命题。
2、理解导数和微分的概念，掌握导数与微分、高阶导数的计算方法，掌握微
分中值定理、Taylor 公式及其应用，会用导数判定函数的性态。
3、理解不定积分、定积分的概念，了解可积性判定准则，掌握微积分学基本
公式及其应用，掌握定积分的性质和计算方法，会用微元法解决实际问题。
（二）多元函数微积分学部分，35%（53 分）
考试内容：
1、多元函数微分学
多元函数概念；重极限与累次极限；重极限存在性判定与求法；多元函数连续
性及性质；偏导数、方向导数与全微分概念；一阶全微分形式不变性；高阶偏导数；
二元函数微分中值定理；偏导数计算法；链锁法则；隐函数(组)存在性及求导法；
偏导数在几何上应用；多元函数极值及判定法；条件极值与 Lagrang 乘数法；多元
函数最大(小)值的确定。
2、多元函数积分学
二、三重积分概念与性质；重积分累次积分法、极坐标法、截面积分法、柱面
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坐标法、球面坐标法、一般变量替换法；两类曲线积分概念、性质及联系；两类曲
线积分计算法；Green 公式；两类曲面积分概念、性质及联系；两类曲面积分计算
法；奥高公式；Stokes 公式；平面曲线积分与路径无关的等价命题；各类积分在几
何上的应用；场论初步。
考试要求：
1、会判定重极限的存在性，理解多元函数连续、偏导数、全微分、方向导数
的概念及相互联系，掌握偏导数的计算方法，掌握微分学在几何上的应用，掌握多
元函数极值的判定法，会用 Lagrang 乘数法解决实际问题。
2、理解重积分、曲线积分、曲面积分的概念及性质，掌握二重、三重积分的
基本计算方法，掌握两类曲线积分、曲面积分的相互联系和计算方法，掌握 Green
公式、奥高公式及其应用，了解 Stokes 公式及场论。
（三）无穷级数论与反常积分部分，30%（45 分）
考试内容：
1、无穷级数论
常数项级数敛散性及性质；正项级数审敛法；任意项级数审敛法；绝对收敛与
条件收敛；函数项级数相关概念；函数列(级数)一致收敛性及判别法；函数列(级
数)的分析运算性质；幂级数收敛半径；Abel 第一、第二定理；幂级数分析性质；5
个重要 Maclaurin 展开式；Riemann 引理；Fourier 级数的收敛性定理；函数展开
成幂级数；函数展开成 Fourier 级数或正弦、余弦级数；级数求和问题。
2、反常积分与含参变量积分
两类反常积分敛散性及性质；反常积分审敛法；绝对收敛与条件收敛；两类反
常积分的联系；含参变量积分(反常积分)函数的概念；含参量积分函数的分析性质；
含参量变限积分函数的求导法则；含参变量反常积分一致收敛性及判别法；含参量
反常积分函数分析运算性质；反常积分（含参变量积分）计算法。
考试要求：
1、理解绝对收敛和条件收敛概念，掌握常数项级数的各种审敛法，理解函数
列(级数)一致收敛性概念，掌握一致收敛判别法，掌握函数列(级数)分析运算性质，
会将函数展开成幂级数或 Fourier 级数，掌握幂级数求和方法。
2、理解两类反常积分敛散性的概念与性质，掌握反常积分的各种审敛法，会
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计算简单的反常积分，理解含参变量积分(反常积分)函数的概念及分析性质，掌握
含参变量反常积分一致收敛判别法。
五、主要参考书目
（一）欧阳光中等编：《数学分析》（第三版），高等教育出版社，2007 年版。
（二）刘玉琏等编：《数学分析讲义》（第五版），高等教育出版社，2011 年版。