考试大纲

科目代码：702

科目名称：数学分析

第一部分  目标与基本要求

1． 掌握数学分析的基本概念，了解数学分析的发展历史，掌握科学的思想和方法；

2． 掌握数学分析的基本方法，具备严谨的数学语言表达能力、逻辑思维能力与数学运算能力,养成认真、求实、勤奋良好的教学科研精神与学风；

3． 掌握数学分析的基本理论，培养抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及运算能力，养成反思和独立思考的习惯，为后继课程学习打下坚实的基础；

4． 培养建立数学模型的能力以及综合运用数学分析知识去分析和解决问题的能力，体会和领悟数学的简洁性与深刻性，提高数学思维能力和科学素养，具备一定的科学研究能力。培养反思及自主学习能力。

第二部分 内容与考核目标

一、实数集与函数

1 实数集及其性质   2 确界定义与确界原理   3 函数概念   4有某些特性的函数（有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数）

理解和掌握邻域，有界集，上下确界 函数，复合函数，反函数，有界函数，单调函数，奇函数，偶函数概念。熟练掌握上下确界，复合函数，反函数的应用

二、数列极限

1 数列极限概念   2 收敛数列的性质（唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算）   3 数列极限存在的条件：包括单调有界定理与柯西（Cauchy）准则

理解和掌握数列极限的定义，数列极限性质的原理及推导。单调有界原理，柯西准则及应用。

三、函数极限

1 函数极限概念   2 函数极限的性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算）   3函数极限存在的条件：包括归结原则（Heine 定理），单调有界定理与柯西准则   4 两个重要极限   5 无穷小量，无穷大量, 非正常极限，阶的比较，曲线的渐近线。

熟练掌握函数极限定义证明，运算求极限。函数极限柯西准则及应用。两个重要极限的计算， 无穷小量，无穷大量概念，无穷小量阶的比较及应用。一致连续性及应用。

四、函数的连续性

1 连续性概念，间断点及其分类   2 连续函数的性质（有界性、保号性、连续函数的四则运算、复合函数的连续性、反函数的连续性；闭区间上连续函数的有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性）3 实数集完备性的基本定理的应用   4 初等函数的连续性

熟练掌握连续性的定义及其证明，间断点及其分类。连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的性质。区间套定理，柯西准则聚点定理，有限覆盖定理原理及证明。闭区间上的连续函数性质的原理及证明及应用。

五、导数与微分

1 导数的概念   2 求导法则   3 微分概念   4 高阶导数与高阶微分   5参量方程所确定的函数的导数

理解和掌握：导数概念。 导数的四则运算。反函数的导数。复合函数的导数。求导法则与公式。微分概念，微分的运算法则。 高阶导数与高阶微分。 参数方程的一阶及 二阶导数。

六、微分中值定理及其应用

1 中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理）   2不定式极限    3 泰勒公式（及其皮亚诺余项与拉格朗日余项、一些常用初等函数的泰勒展开式、了解应用于近似计算）   4 掌握函数的单调性、极值、最大值与最小值   5函数的凸性与拐点    6 函数图象的讨论

熟练掌握各种微分中值定理，泰勒公式并运用到讨论函数的性态

七  不定积分

1原函数与不定积分概念，基本积分公式   2 换元积分法与分部积分法   3 有理函数和可化为有理函数的积分

理解和掌握：不定积分的运算法则， 换元积分，分步积分法，有理函数的积分，三角函数的积分。

八、定积分

1掌握定积分的概念及其几何意义   2 掌握可积条件的应用（包括必要条件，可积准则），掌握三类可积函数   3 掌握定积分的性质（线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性，积分中值定理）   4 掌握微积分学基本定理，定积分的分部积分法与换元法

理解和掌握：定积分的定义，可积必要及充分条件，可积函数类。熟练掌握定积分的性质原理，微积分基本定理，换元积分法，分步积分法及应用。

九、反常积分

1无穷限反常积分概念、柯西准则，绝对收敛与条件收敛    2无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法及p-函数判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法    3无界函数反常积分概念，无界函数反常积分比较判别法及p-函数判别法

掌握非正常积分的定义，性质，熟练掌握非正常积分判别准则。

十、定积分的应用

1 掌握平面图形的面积   2 掌握由截面面积求体积、旋转体的体积   3 掌握曲线的弧长与了解曲率   4 掌握旋转曲面的面积

十一、数项级数

1 级数收敛的概念，柯西收敛准则，收敛级数的性质    2 正项级数收敛判别法（比较判别法、p-级数判别法、比式与根式判别法、积分判别法）    3 一般项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数的莱布尼兹判别法，阿贝尔（Abel）判别法与狄利克雷（Dirichlet）判别法，绝对收敛级数的性质

理解和熟练掌握：级数一般判别原则，比较及根式判别方法，积分判别方法原理及使用。交错级数， 绝对收敛，阿贝尔判别法，阿贝尔。狄里克里判别法原理及应用。

十二、函数列与函数项级数

1 函数列与函数项级数的一致收敛性，柯西准则，函数项级数的维尔斯特拉斯（Weierstrass）优级数判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法   2 函数列极限函数与函数项级数和函数的连续性、可积性、可微性

理解和熟练掌握：函数列的一致收敛性，函数项级数的一致收敛性判别法原理及应用。一致收敛性函数列及函数项级数分析性质原理及应用。

十三、幂级数

1 幂函数的收敛性，阿贝尔定理，收敛半径与收敛域，内闭一致收敛性，和函数的分析性质   2 函数的幂级数展开

熟练掌握： 阿贝尔定理，收敛区间判别方法，幂级数的分析性质，泰勒级数，幂级数的展开原理及应用。

十四、傅里叶级数

1 傅里叶级数的概念，三角函数系的正交性   2 以2L为周期的函数的展开式，奇式与偶式展开   3 收敛定理的证明

熟练掌握： 为周期的傅里叶级数展开，收敛定理证明。 为周期的傅里叶级数展开。 为周期的傅里叶级数，偶函数与奇函数的傅里叶级数。

十五、多元函数的极限与连续

1理解平面点集与多元函数    2 掌握二元函数的极限，重极限与累次极限   3 理解二元函数的连续性，有界闭域（集）上连续函数的性质

十六、多元函数的微分学

1掌握偏导数与全微分概念，可微性   2 掌握复合函数微分法，高阶导数，高阶微分，混合偏导数与其顺序无关性   3 掌握方向导数与梯度  4 掌握泰勒公式与极值问题

十七、隐函数定理及其应用

1理解隐函数的概念，隐函数定理   2掌握隐函数组定理，隐函数组求导、反函数组与坐标变换，函数行列式及其性质   3 掌握几何应用（空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线）   4 掌握条件极值与拉格朗日乘数法

十八、含参量积分

1 掌握含参量正常积分，连续性、可积性与可微性    2 掌握含参量反常积分的收敛与一致收敛，柯西准则，维尔特拉斯（Weierstrass）判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法，含参量无穷积分的连续性，可积性与可微性        3 理解欧拉积分

十九、曲线积分

1掌握第一型曲线积分的概念，性质和计算公式     2掌握第二型曲线积分的概念，性质和计算公式，两类曲线积分之间的关系

二十、重积分

1 掌握二重积分概念与性质   2 掌握二重积分的计算（化为累次积分），二重积分的换元法（极坐标与一般变换）  3. 掌握格林（Green）公式，曲线积分与路线的无关性        3 掌握三重积分的概念与计算，三重积分的换元法（柱坐标、球坐标与一般变换）  4 理解重积分的应用（体积、曲面面积等）

二十一、曲面积分

1理解第一型曲面积分的的概念与计算    2掌握第二型曲面积分的概念与计算，理解两类曲面积分之间的关系    3掌握高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式

第三部分  有关说明与实施要求

1.基本要求：掌握数学分析中的基本概念，理解考试范围内的各种微积分思想，掌握处理问题分析的基本方法、基本原理，具有运用数学分析方法解决实际问题的基本能力。

2.命题说明：分值比例：“了解”占15%，“理解”占40%，“掌握”占45%；题型为解答题和证明题。

3.参考书目:

（1）梅加强, 数学分析, 高等教育出版社, 2011.

（2）裴礼文，数学分析中的典型问题与方法（第二版），高等教育出版社, 2006.

（3）华东师范大学数学系编，数学分析（第四版），高等教育出版社, 2013.

4. 其他规定：重点难点集中在一元函数微积分学部分，多元函数积分要理解其物理意义。考试方式为闭卷笔试，总分150分，考试时间为180分钟。