《计算方法》考试大纲

一、  考 试 性 质

《计算方法》考试是为中国科学院长春光机所招收博士研究生而设置的选拔考试。它的主要目的是测试考生的数值计算素质。本课程是连接实际问题数学建模与计算机运算之间的桥梁；是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法，在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。考试内容包括插值多项式，曲线拟合，数值积分，数值微分，非线性方程的数值解法，线性方程组的数值方法以及常微分方程数值解法。要求考生对数值计算的基本概念有较深入的了解，能够系统地掌握书中基本定理的推导、证明和应用，注重学习计算方法中的逼近和迭代等数学思想和常用手法，获取近似计算的能力，具有综合运用所学知识分析问题和解决数值计算问题的能力，并能触类旁通地应用到各个领域中。

二、  考试的基本要求

要求考生系统地理解数值分析的基本概念和基本理论，掌握数值计算的基本方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数值运算能力和综合运用所学的数值计算方法分析问题和解决问题的能力。

三、  考试方法和考试时间

考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为100分，考试时间为180分钟。

四、考试内容和考试要求

（一)数值计算中的误差

考试内容

误差的种类及其来源，有效数字与误差的关系，误差的传播与估计。

考试要求

1．了解误差的来源和种类；

2．理解有效数字与误差的关系；

3．了解减少误差传播的常用控制手法；

4．会计算误差限与有效数字。

（二）插值

考试内容

多项式插值的拉格朗日（Lagrange）型式 ，牛顿(Newton)插值多项式，插值余项，分段插值 ，三次样条函数 ，数值微分。

考试要求

1．深入理解拉格朗日插值多项式构造原理和插值余项；

2．熟练掌握拉格朗日插值多项式计算并能灵活运用不同插值条件构造插值多项式；

3．熟练掌握牛顿(Newton) 插值多项式的表达式和插值余项计算，包括差商计算；

4．了解龙格现象，分段插值意义；

5．了解三次样条函数的插值意义，掌握三次样条函数的构造步骤，以及所需的边界条件；

6．掌握用差商、插值多项式计算数值微分。

（三）函数逼近与计算

考试内容

最佳一致逼近与最佳平方逼近，最佳一次逼近多项式，最佳平方逼近多项式，勒让德多项式，切比雪夫多项式，函数按正交多项式展开，最小二乘法的定义以及计算，加权最小二乘法。

考试要求

1．理解最佳一致逼近与最佳平方逼近的概念；

2．会用切比雪夫定理构造最佳逼近函数，会求最佳一次逼近多项式；

3．能正确应用法方程组，获得最佳平方逼近函数；

4．了解最小二乘法的定义；

5．熟练掌握最小二乘法对各种经验公式的计算；

6．掌握曲线拟合的最小二乘方法，并能用该方法解决一些实际问题，如曲线拟合，解矛盾方程等。

（四）数值积分

考试内容

数值积分公式的代数精度，牛顿-柯特斯积分、复合梯形积分公式，复合辛普生积分，龙贝格算法，高斯型求积公式。

考试要求

1．了解求积公式代数精度，掌握插值型求积公式的构造；

2．熟练掌握牛顿-柯特斯积分的推导步骤，包括梯形积分公式和辛普生积分公式；

3、熟练掌握复合梯形积分、复合辛普生积分的公式推导和计算；

4．掌握龙贝格公式推导的基本原理和算法；

5．了解高斯型求积公式的定义和应用。

（五）非线性方程的数值解法

考试内容

二分法，迭代法，牛顿迭代法，正割法（弦截法）。

考试要求

1．应用二分法求非线性方程的根；

2．掌握迭代法的误差估计分析式；

3．熟练掌握牛顿迭代法计算公式以及牛顿法的局部收敛性分析；

4．掌握正割法（弦截法）计算公式以及正割法收敛的阶。

（六）解线性方程组的数值方法

考试内容

高斯（Gauss）消元法与列主元消元法，三角分解法，三对角方程的追赶法，向量和矩阵的范数，雅可比(Jacobi)迭代法，高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法，超松弛迭代，迭代矩阵收敛判断，非线性方程组的迭代法。

考试要求

1．掌握高斯（Gauss）消元法与列主元消元法；

2．熟练掌握矩阵三角分解求解线性方程组的方法；

3．掌握求解三对角方程组的追赶法；

4．掌握求解对称正定方程组的平方根法；

5．掌握向量和矩阵的范数计算，以及在判断迭代矩阵收敛性中的应用；

6．熟练掌握雅可比(Jacobi)迭代法，包括迭代公式、迭代矩阵和收敛判断；

7．熟练掌握高斯-塞德尔迭代法，包括迭代公式、迭代矩阵和收敛判断；

8．了解线性方程组的超松弛迭代的迭代公式；

9．掌握非线性方程组的牛顿迭代法；

10．了解矩阵的条件数和病态方程组的概念，系数矩阵、常数项的扰动对解的影响。

（七）常微分方程数值解法

考试内容

欧拉(Euler)方法，龙格-库塔方法，线性多步法方法，算法的的稳定性和收敛性。

考试要求

1．掌握欧拉(Euler)方法的计算格式、几何意义和局部收敛阶数；

2．了解初值问题、边值问题、差分格式、显式格式、隐式格式、预估校正等有关常微分方程数值解基本概念；

3．掌握龙格-库塔公式的导出思想和方法，局部截断误差阶数；

4．了解线性多步法计算公式的推导，了解阿达姆斯公式求解常微分方程的过程；

5．了解算法的局部收敛阶数和整体收敛阶数的关系；

6．能判断常微分方程数值方法的稳定性，会求相应数值解法的稳定域；

7．掌握用欧拉方法、改进欧拉法、隐式欧拉法、龙格-库塔法求解常微分方程的方法。

五、主要参考书目

1. 李庆扬，王能超，易大义．《数值分析》第五版．清华大学出版社，2008。

2. 杨大地等．《数值分析》．重庆大学出版社，1998。

3. 孙志忠等．《数值分析》第二版．东南大学出版社，2002。

4. 王德明等．《数值分析》．哈尔滨出版社，2001。

 编制单位：中国科学院长春光学精密机械与物理研究所

编制日期：2020年9月