2026 年火箭军工程大学考研真题样题（运筹学基础）

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一、填空题（本大题共 15 空格，每空 1.5 分，共 15 分）

1. 答案

缩小（或变小）；扩大（或变大）

解析：约束条件是对可行域的限制，增加约束会进一步限定变量取值范围，可行域范围缩小；减少约束则放宽限制，可行域范围扩大，例如线性规划中移除 “x≤5” 的约束，x 的取值上限消失，可行域沿 x 轴正方向扩大。

2. 答案

满足所有约束条件的解；使目标函数达到最优值（最大值或最小值）的可行解

解析：可行解的核心是 “符合约束”，无需考虑目标函数；最优解是可行解中的 “最优者”，需同时满足 “可行” 与 “目标函数最优” 两个条件，例如在最大化问题中，最优解是使目标函数值最大的可行解。

3. 答案

在最差结果中选择最好的方案（或 “小中取大”）；在最好结果中选择最好的方案（或 “大中取大”）

解析：悲观准则（瓦尔德准则）假设未来状态最差，需从各方案的最小收益中选最大者，规避风险；乐观准则（赫威斯准则）假设未来状态最好，需从各方案的最大收益中选最大者，追求最大收益，二者体现不同的决策风险偏好。

4. 答案

决策变量中全部或部分要求取整数的线性规划问题

解析：整数规划的本质是 “线性规划 + 整数约束”，按整数约束范围可分为纯整数规划（所有变量取整数）、混合整数规划（部分变量取整数）、0-1 整数规划（变量仅取 0 或 1），例如 “生产产品数量” 需为整数，对应整数规划模型。

5. 答案

不平衡；增加一个虚设的销地（或 “虚拟终点”），并将其销量设为总产量与总销量的差额；增加一个虚设的产地（或 “虚拟起点”），并将其产量设为总销量与总产量的差额

解析：表上作业法仅适用于 “总产量 = 总销量” 的平衡运输问题。总产量＞总销量时，虚设销地接收多余产量（单位运费为 0）；总产量＜总销量时，虚设产地补充短缺产量（单位运费为 0），通过虚拟节点将不平衡问题转化为平衡问题。

二、判断题（本大题共 10 小题，每小题 1.5 分，共 15 分）

1. 答案：×

解析：运筹学模型虽以数学为基础，但实际应用中需考虑人的心理因素，例如决策分析中 “效用理论” 专门量化决策者对风险的心理偏好，不确定型决策的不同准则也反映决策者的心理倾向，因此不能忽略心理因素。

2. 答案：√

解析：线性规划可行域是由线性约束条件围成的凸多边形（二维）或凸多面体（高维），凸集的定义是 “任意两点连线仍在集合内”，线性约束条件满足这一性质，因此可行域若存在则必为凸集。

3. 答案：√

解析：线性规划的目标函数是线性函数，其等值线与可行域的最优交点必在可行域的顶点（极点）上，这是线性规划的基本性质，也是单纯形法求解的理论依据，即只需在顶点中寻找最优解。

4. 答案：√

解析：基可行解是满足 “非负约束” 的基解，在二维线性规划中，基可行解对应可行域的顶点（如三角形的三个顶点）；在高维中对应凸多面体的顶点，二者是一一对应的关系。

5. 答案：×

解析：主观概率虽基于决策者的经验判断，但并非 “臆测”，它是对无法通过频率统计的不确定事件（如 “新产品上市成功率”）的合理估计，需结合历史数据、行业经验等形成，具有一定的科学依据。

6. 答案：×

解析：平衡运输模型只需补充一个虚拟节点：总产量＞总销量时仅需虚设销地，总产量＜总销量时仅需虚设产地，无需同时增加虚设起点和终点，否则会导致模型过度冗余，无法正确计算。

7. 答案：√

解析：动态规划的核心是 “分阶段决策”，通过定义状态、决策、状态转移方程，将多阶段问题分解为依次递推的单阶段问题，例如最短路径问题中，从最后一段倒推至第一段，每段仅需求解当前阶段的最优决策。

8. 答案：√

解析：动态规划的状态需满足 “无后效性”，即当前阶段的决策仅依赖当前状态，与之前的决策路径无关，这一性质保证了各阶段决策的相互独立，避免后续阶段受前期决策的间接影响。

9. 答案：×

解析：整数规划的可行域是其对应线性规划可行域的子集（仅包含整数点），因此整数规划的最优目标函数值不会优于线性规划的最优值：最大化问题中整数规划最优值≤线性规划最优值，最小化问题中整数规划最优值≥线性规划最优值，例如线性规划最优解为 x=2.5（目标值 10），整数规划最优解可能为 x=2（目标值 9）。

10. 答案：√

解析：指派问题是特殊的运输问题（产地数 = 销地数 = n，每个产地仅运 1 单位，每个销地仅收 1 单位），因此可采用表上作业法求解，但更高效的方法是匈牙利算法，其本质是对表上作业法的优化，减少计算量。

三、计算题（本大题共 4 小题，第 1 题 35 分，第 2 题 10 分，第 3、4 题每题 15 分，共 75 分）

1. Reddy Mikks 公司涂料生产规划问题

（1）决策变量（1 分）

设外墙涂料的日产量为

（2）目标函数（1 分）

总利润最大化，每吨外墙涂料利润 5，内墙涂料利润 4，因此目标函数为：

（3）约束条件（5 分）

原料 M1 约束：每吨外墙涂料用 6 吨 M1，内墙用 4 吨，日最大可用 24 吨，即
原料 M2 约束：每吨外墙涂料用 1 吨 M2，内墙用 2 吨，日最大可用 6 吨，即
市场需求约束 1：内墙涂料日需量≤外墙涂料日需量 + 1 吨，即
市场需求约束 2：内墙涂料最大日需求量 2 吨，即
非负约束：

（4）线性规划模型及标准型（3 分）

原模型：
标准型（引入松弛变量

（5）图解法求解（10 分）

绘制可行域：
- 约束 1
- 约束 2
- 约束 3
- 约束 4
- 非负约束：可行域在第一象限。
  联立约束方程，求得可行域顶点为：A (0,1)（约束 3 与 x2 轴交点）、B (1,2)（约束 3 与约束 4 交点：
寻找最优顶点：
计算各顶点的目标函数值：
- O(0,0)：
- A(0,1)：
- B(1,2)：
- C(2,2)：
- D(4,0)：
结论：最优解为

（6）单纯形法求解（15 分）

初始基可行解：选择松弛变量

							右端项（b）	比值（b / 对应 x1 系数）
0	6	4	1	0	0	0	24	24/6=4
0	1	2	0	1	0	0	6	6/1=6
0	-1	1	0	0	1	0	1	无（x1 系数负）
0	0	1	0	0	0	1	2	无（x1 系数 0）
-	5（正，进基）	4	0	0	0	0	0	-

迭代 1（x1 进基，s1 出基）：
主元素为 6（s1 行 x1 列），对 s1 行归一化（除以 6），再消去其他行的 x1：
- s1 行：
- s2 行：
- s3 行：
- s4 行不变。
  新单纯形表中
迭代 2（x2 进基，s2 出基）：
主元素为 4/3（s2 行 x2 列），对 s2 行归一化（乘以 3/4），消去其他行的 x2：
- s2 行：
- s1 行：
- s3 行：
- s4 行：

2. 匈牙利算法求解指派问题（效率矩阵如下，目标为最小化总效率）

效率矩阵

求解步骤（10 分）

行约简：每行减去该行最小值，使每行至少有一个 0：
- 第 1 行：7-7=0，9-7=2，10-7=3，12-7=5 → [0,2,3,5]
- 第 2 行：13-12=1，12-12=0，16-12=4，17-12=5 → [1,0,4,5]
- 第 3 行：15-14=1，16-14=2，14-14=0，15-14=1 → [1,2,0,1]
- 第 4 行：11-11=0，12-11=1，15-11=4，16-11=5 → [0,1,4,5]
  行约简后矩阵：
列约简：每列减去该列最小值（当前每列已有 0，无需操作）。
覆盖 0 元素（最少直线数）：
- 标记无 0 元素的行（无）；
- 标记上述行中 0 元素所在列（无）；
- 标记上述列中 0 元素所在行（无）；
- 画直线覆盖无标记行和有标记列：需 3 条直线（如覆盖第 1、4 行，第 2 列），未覆盖所有 0，需调整。
调整矩阵：
- 找出未被覆盖元素中的最小值（1）；
- 未被覆盖行（第 2、3 行）各元素减 1，被覆盖列（第 2 列）各元素加 1：
重新覆盖与指派：
此时最少直线数 = 4（等于阶数 4），可指派：
- 第 1 行 0 在 (1,1)，但第 4 行 0 也在 (4,1)，选择第 3 行 (3,4)=0（唯一），排除第 4 列；
- 第 3 行已指派，剩余第 1、2、4 行，第 1、2、3 列：第 2 行 (2,2)=0（唯一），指派；
- 剩余第 1、4 行，第 1、3 列：第 1 行 (1,1)=0，第 4 行 (4,3)=0，指派。
最优指派方案：
1→1（效率 7），2→2（效率 12），3→4（效率 15），4→3（效率 15），总效率 = 7+12+15+15=49。

3. 动态规划求解背包问题（货船载货量 4 吨，三种货物？题干表格修正：应为两种货物，货物 1：w1=3 吨，r1=4；货物 2：w2=2 吨，r2=5，否则数据矛盾）

修正后已知条件

货船容量
货物 1：单位重量
货物 2：单位重量
目标：装载货物使总收益最大（假设货物可分割，若不可分割则为 0-1 背包）。

求解步骤（15 分）

定义阶段与状态：
- 阶段
- 状态
- 决策
- 状态转移方程：
- 阶段收益
- 总收益
逆序递推（从 k=2 开始）：
- k=2（货物 2）：
- k=1（货物 1）：
结论：最优装载方案为装载 2 件货物 2（总重量 4 吨），最大收益 20（若货物不可分割，x2=2 件符合要求；若题干为三种货物，需补充数据后重新计算，此处按修正后数据求解）。

4. 决策树法分析公司资金使用问题

已知条件

初始资金 50000 元，两种方案：投资开发（成功率 96%，成功获利 12%，失败损失全部资金）、存入银行（稳得 6% 年利）；
咨询服务：费用 500 元，咨询结果分 “可以投资”“不宜投资”，历史数据：

咨询结果投资成功投资失败合计

可以投资 154 2 156

不宜投资 38 6 44

合计 192 8 200

求解步骤（15 分）

计算条件概率（贝叶斯公式）：
- P (成功 | 可以投资) = 154/156 ≈ 0.987；
- P (失败 | 可以投资) = 2/156 ≈ 0.013；
- P (成功 | 不宜投资) = 38/44 ≈ 0.864；
- P (失败 | 不宜投资) = 6/44 ≈ 0.136；
- P (可以投资) = 156/200 = 0.78；
- P (不宜投资) = 44/200 = 0.22。
绘制决策树（核心节点）：
- 根节点：决策 1（求助咨询）、决策 2（不求助咨询）；
- 决策 1 分支：
  - 咨询 “可以投资”（0.78）：后续决策 A（投资开发）、决策 B（存入银行）；
    - 决策 A 收益：成功（0.987）→ 50000×12% - 500 = 6000 - 500 = 5500 元；失败（0.013）→ -50000 - 500 = -50500 元；期望收益 = 0.987×5500 + 0.013×(-50500) ≈ 5428.5 - 656.5 = 4772 元；
    - 决策 B 收益：50000×6% - 500 = 3000 - 500 = 2500 元；
    - 选择决策 A，期望收益 4772 元；
  - 咨询 “不宜投资”（0.22）：后续决策 C（投资开发）、决策 D（存入银行）；
    - 决策 C 期望收益 = 0.864×5500 + 0.136×(-50500) ≈ 4752 - 6868 = -2116 元；
    - 决策 D 收益 = 2500 元；
    - 选择决策 D，期望收益 2500 元；
  - 决策 1 总期望收益 = 0.78×4772 + 0.22×2500 ≈ 3722.16 + 550 = 4272.16 元；
- 决策 2 分支：
  - 决策 E（投资开发）期望收益 = 0.96×50000×12% + 0.04×(-50000) = 5760 - 2000 = 3760 元；
  - 决策 F（存入银行）收益 = 50000×6% = 3000 元；
  - 选择决策 E，期望收益 3760 元。
结论：
（1）决策 1（求助咨询）期望收益 4272.16 元＞决策 2（不求助）3760 元，因此值得求助咨询；
（2）若咨询结果为 “可以投资”，选择投资开发；若为 “不宜投资”，选择存入银行，可实现最大期望收益。

四、问答题（本大题共 5 小题，每题 9 分，共 45 分）

1. 线性规划问题的可行解、基解、基可行解、最优解的概念及关系

概念（5 分）

可行解：满足所有约束条件（包括等式、不等式约束和非负约束）的决策变量取值，构成可行域。
基解：在标准型中，选择 n-m 个变量（非基变量）设为 0，求解 m 个基变量的线性方程组得到的解（n 为变量数，m 为约束数），基解不一定满足非负约束。
基可行解：满足非负约束的基解，对应可行域的顶点。
最优解：使目标函数达到最优值（最大值或最小值）的可行解，可能是唯一解、多个解或无穷多解。

关系（4 分）

包含关系：基可行解⊂基解，基可行解⊂可行解，最优解⊂可行解；
顶点对应：基可行解与可行域顶点一一对应，线性规划最优解必在基可行解（顶点）中；
转化关系：基解若满足非负约束则成为基可行解，可行解若能通过 “非基变量设 0” 求解则成为基可行解，基可行解若使目标函数最优则成为最优解。

2. 分支定界法求解整数规划问题的主要思想及步骤

主要思想（3 分）

将整数规划问题分解为一系列子问题（分支），通过求解子问题的线性规划松弛问题，确定最优解的下界（ minimization 问题）或上界（ maximization 问题），并剪去不可能包含最优解的子问题（定界），逐步缩小搜索范围，最终找到整数最优解，核心是 “分支分解 + 定界剪枝”，避免枚举所有整数点。

主要步骤（6 分）

求解松弛问题：忽略整数约束，求解对应线性规划问题，若最优解为整数，则该解即为整数规划最优解；若最优解非整数，记其目标函数值为界（上界或下界）。
分支：选择一个非整数解的变量
xk=bk（如
bk=2.3），构造两个子问题：

子问题 1：原约束 +

子问题 2：原约束 +
求解子问题：分别求解两个子问题的线性规划松弛问题，记录各子问题的可行解及目标函数值。
定界与剪枝：
- 若子问题无可行解，剪去该分支；
- 若子问题最优解为整数，更新当前最优解及最优值，并剪去该分支（无需进一步分解）；
- 若子问题最优解非整数，且目标函数值劣于当前最优值（如 max 问题中小于当前上界），剪去该分支；否则保留分支，重复步骤 2-4。
终止：所有分支均被剪去，当前最优解即为整数规划的最优解。

3. 动态规划的最优性原理、建模步骤及注意事项

最优性原理（3 分）

“一个多阶段决策过程的最优策略具有这样的性质：无论初始状态和初始决策如何，对于由初始决策所形成的后续阶段的状态而言，其余的决策必构成最优策略”。即最优策略的子策略也是最优的，这是动态规划递推求解的理论基础。

建模求解一般步骤（4 分）

划分阶段：按时间或空间顺序，将问题分解为若干相互独立的阶段，编号为 1,2,...,n。
定义状态：确定各阶段的状态变量
定义决策与决策变量：确定各阶段的决策
建立状态转移方程：描述从阶段 k 到 k+1 的状态变化，即
定义阶段收益与目标函数：阶段收益
建立递推关系：根据最优性原理，建立
求解最优策略：计算各阶段最优收益后，回溯确定各阶段的最优决策，形成完整的最优策略。

注意事项（2 分）

状态需满足无后效性，否则需重新定义状态；
阶段划分需合理，避免过多或过少导致计算复杂；
递推方向（逆序或顺序）需与问题性质匹配，如资源分配问题常用逆序，生产调度问题常用顺序；
注意边界条件的设定（如最后阶段的最优收益为 0），避免递推错误。

4. 确定型决策、风险型决策和不确定型决策的概念

确定型决策（3 分）

指决策环境完全确定，每个决策方案对应的唯一结果可准确预测，决策者只需根据目标选择最优方案的决策类型。其核心特征是 “结果唯一、确定”，例如 “已知银行年利率 6%，将 50000 元存入银行，一年后利息收益确定为 3000 元”，常用方法有线性规划、枚举法等。

风险型决策（3 分）

指决策环境存在多种可能的自然状态，每种自然状态发生的概率可通过历史数据或统计方法估算，每个决策方案在不同自然状态下的结果已知，决策者需根据概率计算期望收益（或损失）选择最优方案的决策类型。其核心特征是 “状态多样、概率已知”，例如 “投资开发成功率 96%，失败率 4%，收益已知”，常用方法有决策树法、期望收益法等。

不确定型决策（3 分）

指决策环境存在多种自然状态，但每种自然状态发生的概率无法估算，每个决策方案在不同状态下的结果已知，决策者需根据主观风险偏好选择方案的决策类型。其核心特征是 “状态多样、概率未知”，例如 “新产品上市后市场需求分为畅销、一般、滞销，但概率无法确定”，常用方法有悲观准则、乐观准则、折中准则、最小遗憾值准则等。

5. 效用的概念及效用曲线的确定方法

效用的概念（3 分）

效用是决策者对风险和收益的主观价值判断，用于量化不同结果对决策者的满意程度，用效用值（0-1 之间）表示：效用值越大，决策者对该结果的满意度越高；效用值为 1 对应最满意结果，效用值为 0 对应最不满意结果。例如，同样 10000 元收益，风险厌恶者的效用值可能高于风险偏好者（因前者更看重稳定收益），效用理论是风险型决策的重要补充。

效用曲线的确定方法（6 分）

效用曲线是描述 “结果（收益或损失）与效用值” 对应关系的曲线，确定步骤如下：

确定基准结果：
- 设最有利结果（如最大收益）的效用值
- 设最不利结果（如最大损失）的效用值
选择中间结果：选取一个中间结果
调整概率 p：逐步调整 p，直到决策者认为 “确定获得
重复步骤 2-3：选取多个不同的中间结果，重复上述询问与计算，得到多个
绘制效用曲线：以结果 x 为横轴，效用值 U (x) 为纵轴，将上述点连接，得到决策者的效用曲线，常见类型有：
- 风险厌恶型（曲线凸向横轴）：决策者对收益的边际效用递减，偏好稳定收益；
- 风险偏好型（曲线凹向横轴）：决策者对收益的边际效用递增，偏好高风险高收益；
- 风险中性型（直线）：决策者的效用值与结果成线性关系，仅关注期望收益，不考虑风险。