2026 年铁道科学研究院信号与系统考研真题样题
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一、信号与系统基础题（28 分）
1. 信号波形变换（6 分）
题干：已知信号f(t)的波形如图所示，试画出f(−2t+1)的波形。
答案解析：
信号变换需遵循 “时移→尺度→反折” 或 “反折→尺度→时移” 的顺序，步骤如下：
- 步骤 1：反折（针对−2t中的反折操作）：将f(t)关于t=0反折，得到f(−t)；
- 步骤 2：尺度变换（压缩 2 倍）：将f(−t)的时间轴压缩 2 倍，得到f(−2t)；
- 步骤 3：时移（右移 1/2 单位）：将f(−2t)右移1/2单位，得到f(−2(t−1/2))=f(−2t+1)。
具体波形变化：
- 原f(t)的区间：t∈[−2,2]，其中t∈[−2,−1]为线性上升段，t∈[−1,2]为平顶段；
- 反折后f(−t)的区间：t∈[−2,2]（对称于t=0）；
- 尺度压缩 2 倍后f(−2t)的区间：t∈[−1,1]；
- 右移 1/2 单位后f(−2t+1)的区间：t∈[0,2]，其中t∈[0,0.5]为线性上升段（对应原t∈[−1,−0.5]的反折压缩），t∈[0.5,2]为平顶段。
解析：信号变换的核心是掌握 “反折、尺度、时移” 的顺序与每步对区间的影响，避免顺序错误导致波形变形。该考点是信号时域分析的基础，需熟练运用变换规则。
2. 信号分类及举例（10 分）
题干：请描述确定性信号、随机信号、非周期信号、离散时间信号、数字信号，并举例。
答案解析：
- 确定性信号：能以确定的时间函数表示，给定时刻有确定值。
举例：正弦信号f(t)=sin(ωt)、阶跃信号u(t)。
- 随机信号：不能以确定函数表示，仅能以概率统计描述。
举例：通信中的噪声信号、随机振动信号。
- 非周期信号：不满足f(t+T)=f(t)（无固定周期T）。
举例：矩形脉冲信号f(t)=u(t)−u(t−1)、指数信号f(t)=e−atu(t)。
- 离散时间信号：仅在离散时间点上有定义的信号（时间离散，幅度连续）。
举例：采样信号f[n]=sin(ωn)、单位序列δ[n]。
- 数字信号：时间离散且幅度量化的信号（幅度取有限个离散值）。
举例：二进制信号（仅取 0、1）、计算机中的数字音频信号。
解析：需明确各类信号的定义边界，举例需典型且易区分。该考点是信号与系统的入门概念，需准确把握 “确定性 - 随机”“周期 - 非周期”“连续 - 离散 - 数字” 的分类逻辑。
3. 系统特性判断（12 分）
题干：判断下列系统是否为线性、时不变、因果和可逆？
（1）
r(t)=e(t)u(t)
（2）r(t)=e(3−t)
（3）r(t)=∫−∞te(τ)dτ
（4）r(t)=et(t)（注：应为r(t)=e2(t)或r(t)=e(t)2，此处按平方系统分析）
（5）r(t)=cos[e(t)]u(t)
（6）r(t)=dtde(t)答案解析：
| 系统 |
线性 |
时不变 |
因果 |
可逆 |
分析 |
| （1）r(t)=e(t)u(t) |
否 |
否 |
是 |
是 |
线性：u(t)为时变因子，不满足叠加性；时不变：输入时移，u(t)不随输入时移，故时变；因果：输出仅与当前及过去输入有关；可逆：由r(t)可唯一确定e(t)=r(t)/u(t)（t≥0时）。 |
| （2）r(t)=e(3−t) |
是 |
否 |
否 |
是 |
线性：满足叠加、齐次性；时不变：输入e(t−t0)，输出为e(3−t+t0)=r(t−t0)，时变；因果：输出t时刻值与输入3−t时刻（可能未来）有关，非因果；可逆：由r(t)可唯一确定e(t)=r(3−t)。 |
| （3）r(t)=∫−∞te(τ)dτ |
是 |
是 |
是 |
是 |
线性：积分运算满足线性；时不变：输入时移，输出积分区间同步时移，时不变；因果：输出仅与过去输入有关；可逆：求导可恢复e(t)=dtdr(t)。 |
| （4）r(t)=e2(t) |
否 |
是 |
是 |
否 |
线性：不满足叠加性（(e1+e2)2=e12+e22）；时不变：输入时移，输出平方后时移，时不变；因果：输出仅与当前输入有关；可逆：e(t)=±r(t)，不唯一，不可逆。 |
| （5）r(t)=cos[e(t)]u(t) |
否 |
否 |
是 |
否 |
线性：cos(⋅)为非线性运算，不满足线性；时不变：输入时移，u(t)不随输入时移，时变；因果：输出仅与当前及过去输入有关；可逆：e(t)=arccos[r(t)/u(t)]（多解），不可逆。 |
| （6）r(t)=dtde(t) |
是 |
是 |
否 |
否 |
线性：求导运算满足线性；时不变：输入时移，输出求导后时移，时不变；因果：输出t时刻值与输入t时刻的变化率有关（需未来信息判断变化趋势），非因果；可逆：积分可恢复e(t)=e(0)+∫0tr(τ)dτ，但初始值e(0)未知，不可逆。 |
解析：系统特性判断需逐一验证线性（叠加、齐次）、时不变（输入时移输出同步时移）、因果（输出仅与过去 / 当前输入有关）、可逆（输出可唯一确定输入）的定义。该考点是系统分析的核心，需熟练掌握各类运算（时移、非线性、积分、求导）对系统特性的影响。
二、微分方程求解与响应分析（20 分）
题干：已知某系统的微分方程模型为：
dt2d2y(t)+3dtdy(t)+2y(t)=x(t)，初始条件，输入x(t)=e−tu(t)。求系统的完全响应，并指出零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应、瞬态响应和稳态响应。答案解析：
步骤 1：求零输入响应yzi(t)
零输入时
x(t)=0，微分方程为y′′+3y′+2y=0，特征方程s2+3s+2=0，解得s1=−1，s2=−2。
零输入响应形式：yzi(t)=Czi1e−t+Czi2e−2t。
由初始条件y(0−)=0，，代入得：
{Czi1+Czi2=0−Czi1−2Czi2=0，解得Czi1=Czi2=0，故yzi(t)=0。
步骤 2：求零状态响应yzs(t)
零状态下，用卷积法或拉普拉斯变换法求解。此处用拉普拉斯变换：
- 对微分方程取拉普拉斯变换：s2Yzs(s)+3sYzs(s)+2Yzs(s)=X(s)；
- 输入x(t)=e−tu(t)的拉普拉斯变换X(s)=s+11；
- 系统传输函数H(s)=s2+3s+21=(s+1)(s+2)1=s+11−s+21；
- 零状态响应的拉普拉斯变换Yzs(s)=H(s)X(s)=(s+1)2(s+2)1；
- 部分分式分解：设(s+1)2(s+2)1=s+1A+(s+1)2B+s+2C，解得A=−1，B=1，C=1；
- 逆变换得yzs(t)=(−e−t+te−t+e−2t)u(t)。
步骤 3：完全响应、自由响应、强迫响应、瞬态与稳态响应
- 完全响应：y(t)=yzi(t)+yzs(t)=(te−t+e−2t−e−t)u(t)；
- 自由响应：由系统特征根决定的响应，即te−t+e−2t−e−t（因s=−1,−2为齐次解形式）；
- 强迫响应：输入激励的特解，此处输入为e−t，与特征根s=−1重根，特解形式为te−t，故强迫响应为te−tu(t)；
- 瞬态响应：t→∞时趋于 0 的部分，即te−t−e−t+e−2t（均含e−t或e−2t，随时间衰减）；
- 稳态响应：t→∞时非零的部分，此处无稳态响应（所有项均衰减至 0）。
解析：微分方程求解需区分零输入与零状态响应，拉普拉斯变换是高效方法。响应分类需明确：自由响应由特征根决定，强迫响应由输入激励形式决定；瞬态响应随时间衰减，稳态响应长期存在。该考点是系统时域分析的核心，需熟练掌握微分方程求解与响应分解逻辑。
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