河海大学常微分方程考博真题

常微分方程是河海大学数学、力学等专业博士研究生招生考试的核心科目，聚焦微分方程的解的存在性、有界性及周期解等理论问题，对考生的数学理论素养具有关键考查意义。考生可通过以下权威渠道获取该校全学科考博真题及配套高分答案详解：

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河海大学常微分方程考博真题（精选）

河海大学 2016 年博士研究生入学考试试题（A）

考试科目代码及名称：2023 常微分方程

1.(20 分) 设连续函数

\(f(x)\)

在区间

-\infty < x < +\infty

上有界，证明方程

\(y'+y = f(x)\)

在区间

-\infty < x < +\infty

上有且只有一个有界解，并求出这个解。进而证明：如果

\(f(x)\)

是以

T

为周期的周期函数，则该有界解也是以

T

为周期的周期解.

考点定位：本题聚焦一阶线性常微分方程的解的存在唯一性、有界性及周期解理论，是常微分方程学科的核心理论考点。

解题步骤：
（1）求方程的通解：
一阶线性方程 $$y'+y = f(x)$$ 的积分因子为 $e^{\int 1dx}=e^x$ ，通解为： $y(x) = e^{-x}\left( C + \int_{-\infty}^x e^t f(t)dt \right) \quad (C为任意常数)$

（2）证明有界解的存在唯一性：

已知

\(f(x)\)

有界，设

|f(x)| \leq M

（

M

为常数）。

当取 $$C=0$$ 时，解为 $y(x) = e^{-x}\int_{-\infty}^x e^t f(t)dt$ ，计算其有界性： $|y(x)| \leq e^{-x}\int_{-\infty}^x e^t \cdot M dt = M e^{-x} \cdot e^x = M$ 故该解有界。
若 $C \neq 0$ ，则 $y(x) = e^{-x}C + e^{-x}\int_{-\infty}^x e^t f(t)dt$ ，当 $x \to +\infty$ 时， $e^{-x}C \to 0$ ；但当 $x \to -\infty$ 时， $e^{-x}C \to \pm\infty$ （ $C \neq 0$ ），故此时解无界。因此只有 $$C=0$$ 时解有界，且唯一。

（3）证明周期解（当 $$f(x)$$ 以 $T$ 为周期时）：

需证

\(y(x+T)=y(x)\)

。由于

\(f(x+T)=f(x)\)

，则：

y(x+T) = e^{-(x+T)}\int_{-\infty}^{x+T} e^t f(t)dt = e^{-x-T}\int_{-\infty}^x e^{s+T} f(s+T)ds \quad (令s=t-T)

代入

\(f(s+T)=f(s)\)

，化简得：

y(x+T) = e^{-x-T} \cdot e^T \int_{-\infty}^x e^s f(s)ds = e^{-x}\int_{-\infty}^x e^s f(s)ds = y(x)

故该有界解是以

T

为周期的周期解。

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