河海大学弹性力学考博真题

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河海大学弹性力学考博真题（精选）

一、真题文本

1. 简要回答下列问题（4 题，共计 20 分）
   （1）在建立弹性力学的几何微分方程时，应用的基本假定是什么？（5 分）
   （2）平面应变问题的无限长柱形体，将 x 轴和 y 轴置于柱体的横截面内，z 轴沿柱体的长度方向，试简述 z 面上的应力情况及原因。（5 分）
   （3）平面弹性力学问题，按位移求解的基本未知量什么？它们应满足哪些方程或条件？（5 分）

二、答案解析（附考点定位、核心要点）

核心解析

1. 建立几何微分方程的基本假定

• 考点定位：弹性力学的基本假定，是学科理论体系的基础考点。
• 答案：
  建立弹性力学几何微分方程时，应用的基本假定是小变形假定（位移和形变是微小的）。
• 解析：
  小变形假定下，位移的偏导数远小于 1，可忽略位移导数的高次幂项，使得几何关系（形变与位移的关系）简化为线性微分方程，从而保证几何微分方程的线性性与可解性。

2. 平面应变问题 z 面的应力情况及原因

• 考点定位：平面应变问题的应力特性，是平面弹性问题的核心考点。
• 答案：
  平面应变问题中，z 面上存在正应力\(\sigma_z\)（不为零），切应力\(\tau_{zx}=\tau_{zy}=0\)。
• 解析：
  平面应变问题的定义是 “沿 z 向（柱体长度方向）位移\(w=0\)，且所有物理量不随 z 变化”，因此 z 向的线应变\(\varepsilon_z=0\)。根据广义胡克定律，\(\varepsilon_z=\frac{1}{E}[\sigma_z-\nu(\sigma_x+\sigma_y)]=0\)，可得\(\sigma_z=\nu(\sigma_x+\sigma_y)\)（\(\nu\)为泊松比），故\(\sigma_z\)不为零；而切应变\(\gamma_{zx}=\gamma_{zy}=0\)，对应切应力\(\tau_{zx}=\tau_{zy}=0\)。

3. 平面问题按位移求解的未知量及满足的方程

• 考点定位：位移法的求解体系，是弹性力学数值求解的基础考点。
• 答案：
• 基本未知量：平面内的位移分量\(\boldsymbol{u(x,y)}\)、\(\boldsymbol{v(x,y)}\)；
• 需满足的方程 / 条件：
  1. 平衡微分方程（用位移表示的平衡方程，即拉梅方程）；
  2. 边界条件（位移边界条件或应力边界条件，应力边界条件需用位移分量表示）；
  3. 变形协调条件（小变形下，位移满足几何微分方程时，协调条件自动满足）。

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