河海大学计算数学考博真题

计算数学是河海大学数学、计算机等专业博士研究生招生考试的核心科目，聚焦矩阵范数、数值求解方法等核心内容，对考生的计算数学专业素养具有关键考查意义。考生可通过以下权威渠道获取该校全学科考博真题及配套高分答案详解：

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河海大学计算数学考博真题（精选）

河海大学 2018 年博士研究生招生考试初试试题

考试科目代码及名称：2002 计算数学（A）

1、（6 分）已知

\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 5 & 4 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}

，

\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

，计算

\|\boldsymbol{A}\|_1

和

\|\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\|_\infty

。

2、（6 分）用二分法求方程

\(x^3 - 2x - 5 = 0\)

在

\([2,3]\)

上的根时，为使绝对误差不超过

10^{-3}

，至少需要二分多少次？

考点定位：本题聚焦矩阵 1 - 范数、向量无穷范数的计算，以及二分法的误差分析，是计算数学的基础核心考点。

考点定位：矩阵 1 - 范数、向量无穷范数的定义与计算，是数值代数的核心考点。
答案详解：
（1）计算 $\|\boldsymbol{A}\|_1$ ：
矩阵 1 - 范数的定义是 “列元素绝对值之和的最大值”。
$\boldsymbol{A}$ 的各列元素绝对值之和为：
第 1 列： $$|1| + |6| + |7| = 14$$ ；
第 2 列： $$|2| + |5| + |8| = 15$$ ；
第 3 列： $$|3| + |4| + |9| = 16$$ ；
因此 $\|\boldsymbol{A}\|_1 = \max\{14,15,16\} = 16$ 。

（2）计算

\|\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\|_\infty

：

先计算

\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}

：

\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + 2 \times 1 + 3 \times 1 \\ 6 \times 1 + 5 \times 1 + 4 \times 1 \\ 7 \times 1 + 8 \times 1 + 9 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 15 \\ 24 \end{pmatrix}

向量无穷范数的定义是 “元素绝对值的最大值”，因此

\|\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\|_\infty = \max\{|6|,|15|,|24|\} = 24

。

考点定位：二分法的误差估计与迭代次数分析，是数值逼近的核心考点。
答案详解：
二分法的绝对误差公式为：
$|x_n - x^*| \leq \frac{b - a}{2^n}$
其中 $$[a,b]$$ 是初始区间， $n$ 是迭代次数， $$x^*$$ 是方程的根。

已知初始区间

\([2,3]\)

，

\(b - a = 1\)

，要求绝对误差不超过

10^{-3}

，即：

\frac{1}{2^n} \leq 10^{-3} \implies 2^n \geq 1000

由于

2^{10} = 1024 \geq 1000

，因此至少需要二分

\boldsymbol{10}

次。

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建议考生重点夯实矩阵范数、数值求解方法的误差分析等核心内容，提升计算数学专业素养。