辽宁工程技术大学 2025 年博士研究生《数值分析》（2321）考试大纲

一、考试基本信息

1. 科目名称：数值分析
2. 科目代码：2321
3. 试卷满分：100 分
4. 考试时间：180 分钟
5. 答题方式：闭卷、笔试
6. 考试用具：黑色笔作答，可携带无存储功能的计算器

二、参考书目

三、考试内容与要求

（一）绪论

• 核心考点：
  • 误差来源（模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差）
  • 误差与有效数字的换算关系（如根据有效数字位数计算误差限）
  • 算法稳定性分析（通过具体例子判断算法是否稳定）
  • 病态问题识别与条件数计算（矩阵条件数的定义及应用）

（二）插值法

• 必须掌握：
  • 拉格朗日插值多项式构造（n 次多项式的基函数形式）
  • 插值余项公式及误差估计（拉格朗日余项的推导与应用）
  • 牛顿插值多项式构造（差商表的建立与使用）
• 理解内容：
  • 埃尔米特插值多项式的构造（满足导数条件的插值）
  • 三次样条插值的基本概念（光滑性条件）

（三）函数逼近和曲线拟合

• 重点模块：
  1. 最佳一致逼近：
     • 切比雪夫多项式性质（正交性、极值点分布）
     • 零次 / 一次最佳一致逼近多项式求解（切比雪夫定理应用）
  2. 最佳平方逼近：
     • 勒让德多项式正交性及展开式
     • 法方程建立与最佳平方逼近多项式求解
  3. 曲线拟合：
     • 最小二乘法原理（误差平方和最小化）
     • 多项式拟合参数求解及误差估计

（四）数值积分和数值微分

• 高频考点：
  • 代数精度定义与验证（通过具体公式计算代数精度）
  • 插值型求积公式构造（基于拉格朗日插值）
  • 复化求积公式：
    • 复化梯形公式及误差估计（h 与误差的关系）
    • 复化辛普森公式及误差估计（偶阶精度特性）
  • 高斯 - 勒让德求积公式：
    • 节点与权系数的性质（最高代数精度）
    • 典型公式（如 n=2 时的高斯公式）

（五）解线性方程组的直接方法

• 关键技术：
  • 列主元消去法步骤（避免主元过小的数值稳定性处理）
  • 矩阵三角分解（LU 分解、Doolittle 分解）
  • 平方根法（对称正定矩阵的 Cholesky 分解）
  • 范数计算：
    • 向量范数（L1、L2、L∞范数）
    • 矩阵范数（诱导范数、Frobenius 范数）
    • 条件数 cond (A) 计算及病态判断

（六）解线性方程组的迭代法

• 方法与理论：
  • 雅可比迭代法（分量形式与矩阵形式）
  • 高斯 - 塞德尔迭代法（迭代顺序对收敛的影响）
  • 收敛性分析：
    • 谱半径判断收敛条件（ρ(B)<1）
    • 迭代误差估计（递推关系）

（七）非线性方程与方程组的数值解法

• 核心方法：
  • 二分法：
    • 收敛性保证（区间缩半原理）
    • 二分次数计算（满足精度 ε 的最少次数）
  • 牛顿迭代法：
    • 迭代格式构造（f (x) 与 f’(x) 的应用）
    • 局部收敛性分析（导数条件）
    • 收敛阶判断（二次收敛特性）

（八）常微分方程初值问题数值解法

• 方法构造与分析：
  • 欧拉法与后退欧拉法（显式 / 隐式格式）
  • 改进欧拉公式（预测 - 校正方法）
  • 龙格 - 库塔法：
    • 二阶 R-K 法（如中点公式）
    • 绝对稳定性概念（稳定域的图形表示）
  • 线性多步法：
    • 基于泰勒展开构造格式（如 Adams 方法）
    • 局部截断误差计算

四、考试题型与分值分布

五、备考策略与建议

1. 核心知识点突破

• 误差分析：结合具体算例（如数值积分）计算误差限，理解有效数字对精度的影响。
• 迭代法收敛性：通过矩阵特征值计算谱半径，判断雅可比 / 高斯 - 塞德尔迭代的收敛性。
• 非线性方程求解：对比二分法与牛顿法的收敛速度，掌握牛顿法在重根情况下的改进策略。

2. 真题与习题建议

• 习题集推荐：
  • 《数值分析习题集》（配套李庆扬教材）
  • 各校博士真题（如清华大学、北京大学数值分析考研题）
• 刷题重点：
  • 插值多项式构造（拉格朗日 / 牛顿）
  • 高斯积分公式推导
  • 线性方程组迭代法编程实现（MATLAB/Python）

3. 时间分配技巧

• 简答题：每题 5-8 分钟，重点清晰分点作答。
• 计算题：每题 10-15 分钟，写出关键步骤（如三角分解过程）。
• 证明题：每题 15-20 分钟，注意逻辑链条完整（如收敛性证明的前提条件）。

六、常见问题解答

Q1：考试是否涉及编程内容？

Q2：条件数计算需要掌握哪些矩阵范数？

Q3：三次样条插值是否需要记忆具体公式？