河北工业大学数值计算方法考博真题

1. 考博信息网官网：http://www.kaoboinfo.com/
2. 河北工业大学历年考博真题下载专用页面：http://www.kaoboinfo.com/shijuan/school/408061_1_1201086.html

 河北工业大学数值计算方法考博真题（精选）

一、真题文本

二、答案解析（附考点定位、核心要点）

核心解析

1. 数值计算中应遵循的 4 条原则

• 考点定位：数值计算的基本准则，是数值分析基础理论的核心考点。
• 答案详解：
  数值计算中需遵循的 4 条核心原则为：

1. 避免相近数相减：相近数相减会导致有效数字位数大幅减少，降低计算精度（如 \(x=1.0001\)，\(y=1.0000\)，\(x-y=0.0001\)，有效数字从 5 位降至 1 位）；
2. 避免大数 “吃掉” 小数：在浮点运算中，大数与小数相加时，小数的有效数字可能被忽略（如 \(10^{10} + 1 \approx 10^{10}\)），需调整运算顺序；
3. 避免除数绝对值远小于被除数绝对值：此时会导致商的数量级急剧增大，引入较大舍入误差；
4. 尽量简化计算步骤、减少运算次数：运算次数越多，舍入误差的累积效应越明显，需通过算法优化（如秦九韶算法）减少运算量。

2. 从插值角度解释复合梯形与复合辛普森公式

• 考点定位：数值积分的插值原理，是数值积分方法的核心考点。
• 答案详解：
  二者均基于 “插值多项式逼近被积函数” 的思想，通过将积分区间细分后逐段插值实现：

1. 复合梯形求积公式：

   将积分区间 \([a,b]\) 等分为 n 个子区间 \([x_i, x_{i+1}]\)（\(x_{i+1}-x_i=h\)），在每个子区间上用 ** 一次插值多项式（线性插值）** 逼近被积函数 \(f(x)\)，再对插值多项式积分，得到子区间的积分近似值为 \(\frac{h}{2}[f(x_i)+f(x_{i+1})]\)；将所有子区间的结果求和，即得到复合梯形公式：

   \(\int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(b)\right]\)
2. 复合辛普森公式：

   将积分区间 \([a,b]\) 等分为 2n 个子区间（步长 \(h=\frac{b-a}{2n}\)），在相邻两个子区间 \([x_{2i}, x_{2i+2}]\) 上用 ** 二次插值多项式（抛物线插值）** 逼近 \(f(x)\)，对插值多项式积分得到该段的积分近似值为 \(\frac{h}{3}[f(x_{2i})+4f(x_{2i+1})+f(x_{2i+2})]\)；将所有分段结果求和，即得到复合辛普森公式：

   \(\int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{3}\left[f(a)+4\sum_{i=1}^n f(x_{2i-1})+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{2i})+f(b)\right]\)

1. 考博信息网官网：http://www.kaoboinfo.com/
2. 河北工业大学历年考博真题下载专用页面：http://www.kaoboinfo.com/shijuan/school/408061_1_1201086.html